Trouvez la meilleure constante dans ce problème d'analyse complexe
Je suis tombé sur un problème qui me pose problème et qui est assez intéressant mais je ne peux pas le faire. Voilà.
Laisser $(z_1, z_2, ... z_n)\in \mathbb{C^n}$, $J \subset$ {$1,2,..n$} pour $\forall n \in \mathbb{N}$ et $ S_J := |\sum_{j \in J}z_j$|
Clairement$S_J\leq \sum_{j\in J}|z_j|\leq \sum_{j=1}^{n}|z_j|:=S$
Pour $n=2$, prouve qu'il existe $J$, tel que $S_J\geq aS$ et $a\in \mathbb{R}$. Prouve-le$a=\frac{1}{2}$est la meilleure constante.
Pour$n=3$, prouve qu'il existe $J$, tel que $S_J\geq bS$ et $b\in \mathbb{R}$. Prouve-le$b=\frac{1}{3}$est la meilleure constante.
Quelle est la meilleure constante si$n\geq 4$ ?
Réponses
Tu veux écrire $\left|\sum_{j \in J} z_j\right|$ comme $S_J$, ne pas $S_j$: $j$ est juste un "index factice".
Pour $n=2$, $S_{\{1\}} + S_{\{2\}} = |s_1| + |s_2| = S$ donc $\max(S_{\{1\}}, S_{\{2\}}) \ge S/2$. De même pour$n=3$, $\max(S_{\{1\}}, S_{\{2\}}, S_{\{3\}}) \ge S/3$, et en général $\max(S_{\{1\}}, \ldots, S_{\{n\}}) \ge S/n$.
Pour voir ça $a = 1/2$ est la meilleure constante pour $n=2$, vous pouvez prendre $z_1 = 1$ et $z_2 = -1$. Pour voir ça$a=1/3$ est le meilleur pour $n=3$, vous pouvez prendre $z_1, z_2, z_3$ les trois racines cubiques de $1$.
Je ne connais pas les meilleures constantes quand $n > 3$.
EDIT: voir ça