Trouvez les 3 solutions numériques pour $x[(x-2)^2+1]=6$
Trouvez les 3 solutions numériques pour $x[(x-2)^2+1]=6$
J'ai utilisé la méthode d'essai et d'erreur pour trouver des solutions entières pour $x$, et a trouvé qu'une solution possible est $x=3$. Cependant, il existe 2 autres solutions non entières et je ne sais pas comment les trouver.
J'apprécie toute aide, merci.
Réponses
$$x(x^2-4x+5)=6$$
$$x^3-4x^2+5x-6=0$$
$$(x-3)(x^2-x+2)=0$$
Il vous suffit de vérifier le discriminant de $x^2-x+2$ est négative et conclut qu'il n'y a pas d'autre racine réelle.
Si vous souhaitez trouver les autres racines, vous pouvez utiliser la formule quadratique pour trouver les racines restantes.
Par essai et erreur éclairés:
Si vous supposez que l'exercice a une solution simple, un entier est probable. $6$ facteurs comme $2\cdot3$ et comme le deuxième facteur est un carré parfait plus un, cela exclut $3$. ensuite$x=3$ est un bingo!
Déplaçant maintenant l'inconnu avec $x:=z+3$, on obtient
$$z^3+5z^2+8z=0$$ ou $$z\left(\left(z+\frac52\right)^2+\frac74\right)=0,$$ dont la résolution est facile.
À la recherche de solutions entières, l'équation $x[(x-2)^2+1]=6$ est équivalent à $$\begin{cases}x=2,\\(x-2)^2+1=3, \end{cases}\qquad\text{or}\qquad\begin{cases}x=3,\\(x-2)^2+1=2. \end{cases}$$ La deuxième équation du premier système implique que $(x-2)^2\equiv -1\mod 3$. Malheureusement, les seules places mos.$3$ sont $0$ et $1$, donc ce premier système n'a pas de solution.
La deuxième équation dans le deuxième système signifie $(x-2)^2=1$, c'est à dire $x-2=\pm 1\iff x=3\;\text{ or }\;x=1 $. Seulement$x=3$ est compatible avec la première équation.
Il existe donc une seule solution entière. Pour les autres solutions, on peut étendre les lhs pour obtenir l'équation cubique, divisible par$x-3$: $$x^3-4x^2+5x-6=0\iff (x-3)(x^2-x+2)=0$$
L'équation quadratique $x^2-x+2=0$ a des racines conjuguées complexes: $$x=\frac{1\pm i\sqrt 7}2.$$