Une question en réponse d'un utilisateur dans la question chaque bijection$f:\mathbb{R}\to[0,\infty)$a une infinité de discontinuité
Cette question particulière :
Montrer que toute bijection$ f:\mathbb{R} \to [0,\infty)$a une infinité de points de discontinuité.
a été demandé dans un de mes quiz.
Incapable de le résoudre, j'ai cherché sur MSE. J'ai trouvé cette solution particulière.
Points de discontinuité d'une fonction bijective$f:\mathbb{R} \to [0,\infty)$
Mais j'ai une question en solution. Mais le demandeur et le répondeur ne sont pas vus sur le site Web pendant très longtemps.
Je pose donc mon doute dans une question distincte :
Dans la troisième ligne de réponse donnée dans le lien ci-dessus, comment l'auteur en déduit-il que$f(I_m)$est un intervalle ouvert ? Cela signifie que$f$mappe des intervalles ouverts à des intervalles ouverts ? Pourquoi?
Quelqu'un peut-il s'il vous plaît donner une réponse rigoureuse?
Réponses
Si$f$est continue et injective sur un intervalle ouvert$(a,b)$alors$f$est monotone. Supposer$f$augmente. Par IVP des fonctions continues l'image est un intervalle, appelons-le$I$. Supposons que cet intervalle contienne l'un de ses points terminaux. Dire$I=[t,s)$. Alors$t=f(x)$pour certains$x \in (a,b)$. Choisissez n'importe quel$s$entre$a$et$x$. Alors$f(s) <f(x)=t$une contradiction. De la même manière,$I$ne peut pas contenir son extrémité droite.
Un intervalle ouvert est un ensemble connexe, et$f$est continue, donc$f[I_m]$est connecté. Les seuls sous-ensembles connectés de la ligne réelle sont les intervalles (ouverts, semi-ouverts ou fermés), les rayons (ouverts ou fermés) et$\Bbb R$lui-même, donc$f[I_m]$. Si vous n'êtes pas familier avec la notion topologique générale de connexité, vous pouvez utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour montrer que$f[I_m]$doit appartenir à l'un de ces types. Le point crucial est que ce sont les sous-ensembles convexes de$\Bbb R$: si$x$et$y$sont membres de l'un de ces ensembles, et$x<z<y$, alors$z$fait également partie de cet ensemble.
Comme le montre la preuve,$f\upharpoonright I_m$, étant continu et injectif, est (strictement) monotone, donc il est soit strictement préservant l'ordre, soit strictement inversant l'ordre. Depuis$I_m$est un intervalle ouvert ou un rayon ouvert, cela signifie que$f[I_m]$doit également être un intervalle ouvert ou un rayon ouvert : s'il avait une extrémité, cette extrémité devrait être l'image d'une extrémité de$I_m$.