Une question sur les dérivés fractionnaires

Jan 19 2021

Je ne sais pratiquement rien sur le calcul fractionnaire, alors je m'excuse à l'avance si ce qui suit est une question idiote. J'ai déjà essayé math.stackexchange.

Je voulais juste demander s'il existe une notion de dérivée fractionnaire linéaire et qui satisfait la propriété suivante $D^u((f)^n) = \alpha D^u(f)f^{(n-1)}$$\alpha$est un scalaire. Dans le cas des dérivés standards, nous aurions$\alpha = n$.

Merci beaucoup.

Réponses

16 TerryTao Jan 19 2021 at 08:15

Il n'y a fondamentalement pas de solutions intéressantes à cette équation au-delà des opérateurs d'ordre premier et zéro, même si l'on n'impose que la contrainte énoncée pour $n=2$.

Premièrement, nous pouvons dépolariser l'hypothèse$$ D^u(f^2) = \alpha_2 D^u(f) f \quad (1)$$ en remplaçant $f$ avec $f+g, f-g$ pour les fonctions arbitraires $f,g$ et en soustrayant (puis en divisant par $4$) pour obtenir l'identité de type Leibniz plus flexible $$ D^u(fg) = \frac{\alpha_2}{2}( D^u(f) g + f D^u(g) ). \quad (2)$$

Il y a maintenant trois cas, selon la valeur de $\alpha_2$:

  1. $\alpha_2 \neq 1,2$. Application (2) avec$f=g=1$ nous concluons alors que $D^u(1)=0$, puis appliquez à nouveau (2) avec juste $g=1$ on a $D^u(f)=0$. Nous avons donc la solution triviale$D^u=0$ dans ce cas.
  2. $\alpha_2=2$. Puis$D^u$est une dérivation et par induction nous avons$D^u(f^n) = n D^u(f) f^{n-1}$, tout comme avec le dérivé ordinaire, nous avons donc juste $\alpha_n=n$ pour tous $n$ sans comportement fractionnaire.
  3. $\alpha_2=1$. Application (2) avec$g=1$ on obtient (après un peu d'algèbre) $D^u(f) = mf$$m := D^u(1)$. Ainsi$D^u$ est juste un opérateur multiplicateur, qui obéit $D^u(f^n) = D^u(f) f^{n-1}$, Donc $\alpha_n=1$ pour tous $n$.

Ainsi, il n'y a pas de solutions linéaires à votre équation autres que les dérivations habituelles (par exemple, $D^u(f) = a(x) \frac{d}{dx} f$ pour tout symbole lisse $a$) et opérateurs multiplicateurs $D^u(f) = mf$, c'est-à-dire des opérateurs de premier ordre et d'ordre zéro.

D'autre part, les dérivés fractionnaires $D^u$ ont tendance à obéir à une "règle de chaîne fractionnaire" $$ D^u( F(f) ) = D^u(f) F'(f) + E$$ pour diverses fonctions fluides $F,f$, où l'erreur $E$obéit à de meilleures estimations dans divers espaces de Sobolev que les deux autres termes de cette équation. En particulier, pour$F(t) = t^n$, nous aurions $$ D^u(f^n) = n D^u(f) f^{n-1} + E$$ pour un "bon" terme d'erreur $E$. Par exemple, prendre$u=n=2$ avec $D$ le dérivé habituel, nous avons $$ D^2(f^2) = 2 D^2(f) f + E \quad (3)$$ avec $E$l' opérateur « carré du champ »$$ E := 2 (Df)^2.$$ Notez que l'erreur $E$ est contrôlé uniformément par le $C^1$ norme de $f$mais les deux autres termes de (3) ne le sont pas. Voir ma précédente réponse MathOverflow àhttps://mathoverflow.net/a/94039/766 pour quelques références et une discussion plus approfondie.

6 IosifPinelis Jan 19 2021 at 05:33

Il semble que vous vouliez réellement $D^u(f^n)=\alpha f^{n-1} D^u f$, où $\alpha$ est un scalaire.

Il n'y a aucune raison pour que cela soit vrai, et c'est effectivement faux en général. Par exemple, pour$n=2$et le dérivé fractionnaire de Riemann - Liouville de$f:=\exp$ avec $u=1/2$, $a=0$, et $x>0$ on a $$f(x)^{n-1}(D^uf)(x)=e^{2 x} \text{erf}\left(\sqrt{x}\right)+\frac{e^x}{\sqrt{\pi } \sqrt{x}},$$ tandis que $$(D^u(f^n))(x)=\sqrt{2} e^{2 x} \text{erf}\left(\sqrt{2} \sqrt{x}\right)+\frac{1}{\sqrt{\pi } \sqrt{x}},$$ de sorte que $$\frac{D^u(f^n)}{f^{n-1}\,D^uf}$$ ne ressemble à aucune constante.

De plus, le terme $\text{erf}\left(\sqrt{2} \sqrt{x}\right)$ dans l'expression pour $(D^u(f^n))(x)$ ici contre le terme $\text{erf}\left(\sqrt{x}\right)$ dans l'expression pour $f(x)^{n-1}(D^uf)(x)$ semble rendre très improbable qu'un autre type de dérivé fractionnaire fonctionne comme vous le souhaitez.

5 TomCopeland Jan 19 2021 at 05:02

La formule de Leibniz généralisée applicable au dérivé intégrateur fractionnaire classique est

$$ D^{\omega}\; f(x)g(x) = \sum_{n \geq 0} \binom{\omega}{n} [D^{\omega-n}f(x)]D^ng(x)=(D_L+D_R)^{\omega} g(x)f(x),$$

$D_L$ agit sur la fonction à gauche du produit et $D_R$sur la bonne fonction. Voir, par exemple, les règles de Leibniz et les analogues intégraux pour les dérivées fractionnaires via une nouvelle formule de transformation de Fugère, Gaboury et Tremblay.

Cette règle de Leibniz généralisée s'applique au dérivé intégral fractionnaire satisfaisant les axiomes sensibles donnés par Pincherle décrits dans "Le rôle de Salvatore Pincherle dans le développement du calcul fractionnaire" de Francesco Mainardi et Gianni Pagnini - ceux satisfaits par le dérivé habituel élevé à des puissances intégrales, négatif ou positif. Les répétitions de cette opération sont présentées dans ce MSE-Q et peuvent être utilisées pour définir le confluent (voir ce MO-Q ) et les fonctions hypergéométriques régulières.

Ces représentants de $D^{\omega}$sont au cœur des définitions des fonctions gamma et bêta d'Euler via des intégrales, des généralisations des factorielles intégrales et des coefficients binomiaux intégraux (voir ma réponse à / refs dans ce MO-Q ), que la plupart des chercheurs utilisent fréquemment dans leurs efforts mathématiques - - contrairement à certaines opinions exprimées sur MO. Voir un exemple de la demi-dérivée dans ce MO-Q (que de nombreux utilisateurs confondent apparemment avec un opérateur pseudo-différentiel défini par la transformée de Fourier).