Une telle famille d'ensembles existe-t-elle?

Question

Voici une question sur la théorie des ensembles:

Existe-t-il une famille $S$ de disques fermés dans $\mathbb{R^2}$ ayant des rayons positifs tels que chacun de ces disques ait au plus un point en commun et $\mathbb{R^2}- {\cup D}$ est dénombrable.

Je n'ai aucune idée de comment aborder cette question.

S'il vous plaît, dites-moi comment démarrer celui-ci

Answer 1

C'est un théorème bien connu (de Sierpiński je crois) que la ligne réelle n'admet pas une partition non triviale en un nombre dénombrable d'ensembles fermés; voir ma réponse à cette question .

Supposons maintenant pour une contradiction que le plan est l'union d'une collection (nécessairement dénombrable) de disques fermés (de rayon positif) avec des intérieurs disjoints, plus de nombreux points uniques.

Laisser $L$être une ligne dans le plan qui ne passe par aucun des innombrables points où deux de ces disques fermés se touchent. L'intersection de chacun des disques donnés avec$L$est soit un intervalle fermé, soit un point unique. Donc$L$ est l'union d'une collection disjointe dénombrable d'intervalles fermés et de singletons, contredisant le théorème mentionné ci-dessus.

Remarque. Si$S$ est une famille de disques fermés de rayon positif avec des intérieurs disjoints en $\mathbb R^2$, puis $\mathbb R^2\setminus\bigcup S$ est un indénombrable $G_\delta$ ensemble, il a donc une cardinalité $2^{\aleph_0}$.