Utilisation de différentiels (et non de dérivées partielles) pour prouver que d d / dx = -sin (𝜃) / r [duplicate]
J'essaie de prouver les parties de chaque composant de la matrice inverse dans l'image ci-jointe. J'ai essayé d'utiliser des différentiels, puis de résoudre les autres composants. (J'aimerais le résoudre de cette façon). Essayer de résoudre par exemple,$\frac{d\theta}{dx}$ (en bas à gauche de la matrice inverse [ci-dessous]) $$x = r cos(\theta)$$ -> $$dx = cos(\theta)dr - rsin(\theta)d\theta$$Puis en observant que nous tenons $r = constant$, Donc $dr = 0$. Je comprends ça$\frac{d\theta}{dx} = \frac{- 1}{r sin(\theta)}$, qui est proche. J'ai mis cela dans une calculatrice partielle et j'ai fait$\theta$ une fonction de x et r, $\theta = cos^{-1}\left(\frac{x}{r}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2 +y^2}}\right)$. Prenant le$\frac{\partial \theta}{\partial x}$J'obtiens la bonne réponse car r est une fonction de x et y. Si j'utilise le$cos^{-1}\left(\frac{x}{r}\right)$ et prenez le partiel, j'obtiens ce que j'ai dit ci-dessus ($\frac{d\theta}{dx} = \frac{- 1}{r sin(\theta)}$). J'ai aussi essayé de remplacer dr in$dx = cos(\theta)dr - rsin(\theta)d\theta$ en utilisant $r^2=x^2+y^2$ en remplaçant dr par $rdr = xdx + ydy$où j'ai supposé que dy était constant. Ce qui m'a donné la mauvaise réponse. Je voudrais améliorer ma pensée logique, donc tout conseil sur ce que j'ai fait serait également très bien. Merci!
Résumé: J'essaie de prouver en utilisant des différentiels (et non partiels) que $\frac{d\theta}{dx} = \frac{-sin(\theta)}{r}$
Réponses
Le problème est que vous ne pouvez pas simplement écrire $\frac{d\theta}{dx}$. En thermodynamique, il existe une notation qui est vraiment utile et importante. Ils écrivent des dérivées partielles avec un indice pour indiquer quelles variables restent fixes. Donc, par exemple, si nous avons$z=f(x,y)$ et nous voulons trouver le dérivé de $f$ en ce qui concerne $x$, fixation $y$, nous écrivons $$\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_y \quad\text{or}\quad \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_y.$$ Ceci est important car nous pouvons avoir beaucoup de variables volantes et il est important de savoir quelle (s) variable (s) sont fixes.
Dans votre exemple, nous pouvons penser à $(x,y)$ en tant que fonctions de $(r,\theta)$. Alors si nous écrivons$\partial x/\partial\theta$, cela signifie ordinairement $\left(\frac{\partial x}{\partial\theta}\right)_r$. Lorsque vous réparez$r$, alors il devient vrai (parce que nous faisons essentiellement du calcul unidimensionnel) que $$\left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_r = \frac 1{\left(\frac{\partial x}{\partial\theta}\right)_r}.$$ Cependant, vous embrouillez les choses en essayant plutôt de calculer $\left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_y$, et ce sont deux bêtes totalement différentes. Vous devez vraiment faire attention au suivi des variables indépendantes. Si vous changez ceux-ci, une règle de chaîne supplémentaire entre en jeu.
Juste pour répéter, vous essayez de comparer \begin{align*} \left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_r &= -\frac1{r\sin\theta} = -\frac1y \quad\text{and} \\ \left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_y &= -\frac{y}{x^2+y^2} = -\frac{\sin\theta}r. \end{align*}
Au fait, soyez prévenu. En général, nous n'avons pas$\frac{\partial x}{\partial\theta} = \frac1{\frac{\partial\theta}{\partial x}}$. En effet, depuis$x=r\cos\theta$, on a $\partial x/\partial\theta = -r\sin\theta$ (lequel est $-y$). D'autre part, depuis$\theta =\arctan(y/x)$ (au moins pour $-\pi/2<\theta<\pi/2$), on a $\partial\theta/\partial x = -\frac y{x^2+y^2}$, ce qui est très différent de $-y$. C'est ton$-\sin\theta/r$, bien sûr. La relation correcte provient des matrices dérivées complètes (appelées jacobiennes), qui sont inverses$2\times 2$ matrices.
Vous pouvez tout faire correctement avec des différentiels (formes différentielles, en fait), mais vous devez toujours garder une trace de qui sont les variables indépendantes. Et tu dois vraiment arrêter d'écrire des choses comme$d\theta/dx$ à moins que $\theta$est vraiment une fonction juste d'une variable$x$. Pour obtenir votre première formule, il faudrait écrire$d\theta$ en termes de juste $dx$ et $dr$; pour obtenir la seconde il faudrait écrire$d\theta$ en termes de l'habituel $dx$ et $dy$. Il s'agit simplement de savoir ce que sont les variables indépendantes s .