Vérification lorsqu'une fonction réelle est continue dans un intervalle où elle est monotone [fermée]

Question

J'étais en train de réviser pour mon examen Real Analysis 1 et j'ai trouvé ce théorème:

Laisser $f : I \to \mathbb R$ être une fonction, où $I\subseteq\mathbb R$est un intervalle. Supposer que$f$ est monotone dans $I$, alors les instructions suivantes sont équivalentes:

• $f$ est continue dans $I$
• $f(I)$ est un intervalle

J'ai presque fini cet examen mais je n'ai jamais utilisé cette équivalence en pratique, ma question est: pouvez-vous me donner quelques exemples où étudier l'image d'un intervalle est plus facile ou plus utile que de vérifier directement les limites de la fonction, pour savoir quand une fonction est-elle continue?

Answer 1

Une façon de montrer que la fonction Cantor est continue est de montrer qu'elle est non décroissante et a une image$[0,1]$.