Vérifier la différentiabilité à $x=0$

Question

Donc, l'énoncé du problème sur lequel je travaille est

Trouvez l'intégrale indéfinie de $\exp(-|x|)$ par rapport à $x$.

J'ai fourni une réponse ci-dessous, mais j'ai quelques questions à la fin. Je suppose que c'est plus facile si je montre mon travail en premier (ou allez au dernier paragraphe pour passer directement à ma question).

Ma réponse \begin{align*} \int \exp(-|x|) dx &= \begin{cases} \int \exp(-x) dx \text{ if } x\geq0\\ \int \exp(x) dx \text{ if } x<0\\ \end{cases}\\ &\overset{(\star)}{=} \begin{cases} -\exp(-x) + 2 + C \text{ if } x\geq0\\ \exp(x) + C \text{ if } x<0 \end{cases} \end{align*}

J'ai ajouté $2$ à droite du graphique car à $x=0$, \begin{align*} -\exp(-0) + C_1 &= \exp(0) + C_2 \\ \implies -1 + C_1 &= 1 + C_2 \\ \implies C_1 &= 2 + C_2 \end{align*}

J'ai ajouté un graphique pour visualiser la discontinuité à supprimer. Strictement parlant, je n'en ai pas fini ici car j'ai encore besoin de montrer que l'anti-dérivé est différentiable à l'origine. J'ai donc essayé d'utiliser la définition d'un dérivé, c'est-à-dire

\ begin {équation *} f '(x_0) = \ lim_ {x \ to x_0} \ frac {f (x_0 + h) -f (x_0)} {h} \ end {équation *}

mais je ne suis pas vraiment sûr que ce soit correct:

Limite à gauche

\begin{align*} F(x_0) &= \lim_{h\to0^-}\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h} \\ &= \lim_{h\to0^-}\frac{\exp(x_0+h)+C-(\exp(x_0)+C)}{h} && x_0 = 0 \\ &= \lim_{h\to0^-}\frac{\exp(h)-1}{h} && \text{Rule of L'hopital}\\ &= 1 \end{align*}

Limite à droite

\begin{align*} F(x_0) &= \lim_{h\to0^+}\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h} \\ &= \lim_{h\to0^+}\frac{-\exp(-x_0-h)+2+C-(-\exp(-x_0)+2+C)}{h} \\ &= \lim_{h\to0^+}\frac{-\exp(x_0)\exp(-h)+\exp(x_0)}{h} && x_0 = 0 \\ &= \lim_{h\to0^+}\frac{-\exp(-h)+1}{h} && \text{Rule of L'hopital} \\ &= 1 \end{align*}

à partir de là, il ressemble à l'ajout $2$n'a pas vraiment fait une différence dans cette preuve de différenciation? Je ne me sens pas bien non plus d'utiliser Rule of L'hopital dans une épreuve limite, mais je n'ai pas vraiment d'autre moyen de continuer, c'est donc le mieux que je puisse trouver dans cette situation.

Answer 1

Ajouter $2$aide beaucoup dans le calcul des limites. Cela affecte considérablement la limite de gauche. Regardez le numérateur$$ F(x_0+h)-F(x_0) $$ Ici, la gauche $F$ les usages $C_1$ et le droit $F$ les usages $C_2$, donc ce numérateur ne s'approche pas $0$ du tout sauf si vous ajoutez le $2$.

Quant à la façon d'éviter l'Hôpital, cela dépend de la façon dont vous définissez $\exp$. Dans tous les cas, vous pouvez noter que votre limite gauche est en fait égale à la dérivée gauche de$e^x$ à $x=0$(insérez simplement cela dans la définition du dérivé et voyez que vous obtenez la même chose). De même, la limite de droite est égale à la dérivée de droite de$-e^{-x}$ à $x=0$. Donc, si vous savez déjà ce que sont ces deux dérivés, vous avez terminé.

Answer 2

Si tu n'ajoutes pas ça $2$, votre fonction ne sera même pas continue à $0$, et par conséquent, il ne sera pas différenciable à ce stade. Si tu ne mets pas ça$0$, la dérivée gauche à $0$ sera$$\lim_{h\to0^-}\frac{\exp(h)+C-(-\exp(0)+C)}h=\lim_{h\to0^-}\frac{\exp(h)+1}h=-\infty.$$

Answer 3

Sur la gauche, la primitive est

$$e^{x}+C_-$$ et à droite

$$-e^{-x}+C_+.$$

La continuité doit être assurée au point de rencontre (car c'est une condition primordiale), et $$f(0)=1+C_-=-1+C_+$$ est requis.

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Maintenant pour le positif $h$

$$f'^+(0)\leftarrow\frac{f(h)-f(0)}h=\frac{-e^{-h}+1}h$$ et $$f'^-(0)\leftarrow\frac{f(-h)-f(0)}{-h}=-\frac{e^{-h}-1}h$$de sorte que si la limite dans le RHS existe, la dérivée existe. Et il existe certainement, car c'est le bon dérivé de l'exponentielle négative.

Answer 4

$f(x)=\exp(-\vert x \vert)$ est une carte continue car c'est une composition de carte continue.

Par conséquent, vous n'avez pas à vérifier que la dérivée de son intégrale indéfinie existe. Il existe par le théorème fondamental du calcul.

L'égalité

$$\int \exp(-|x|) dx = \begin{cases} \int \exp(-x) dx \text{ if } x\geq0\\ \int \exp(x) dx \text{ if } x<0\\ \end{cases}$$ que vous avez écrit n'a pas de sens.

L'intégrale indéfinie est un, elle n'est pas différente du côté gauche et du côté droit de zéro.

Ce que tu peux écrire c'est

$$\int \exp(-\vert t \vert) dt= C + \int_0^x f(t) dt$$

Et puis séparez les cas $x<0$ et $x \ge 0$.