Dowód olimpiady

Question

Trzej przyjaciele Ronny, Steven i Tom grają w piłkę nożną pewnego popołudnia. Ponieważ jest ich trzech, ciężko jest grać w piłkę nożną, więc decydują, co następuje: będzie dwóch zawodników z pola i spróbują strzelić gola do trzeciego gracza, który jest bramkarzem.

Jeśli został wyznaczony punkt, rozpocznie się nowa gra: bramkarz zostanie zawodnikiem rozgrywającym, a ten, który zdobył punkt, zostanie bramkarzem.

Tego popołudnia Ronny grał w polu 12 razy, Steven 21 rozłożył. Tom stanął w 8 meczach jako 1 bramkarz.

Kto zdobył szóstego punktu bramkowego?

Moja wersja próbna: Załóżmy, że jest tylko 21 gier. Oznacza to, że Steven nigdy nie był bramkarzem. Ronny był bramkarzem 9 razy, a Tom 8 razy, jak wspomniano powyżej. Jeśli Steven nigdy nie był bramkarzem, a Ronny zacznie strzelać gola, to Tom będzie tym, który zdobędzie szósty punkt. Ponieważ Steven nigdy nie strzela, a Ronny strzela tylko nierównymi bramkami. I odwrotnie, gdy Tom zaczyna strzelać gola.

Czy to właściwy sposób na rozwiązanie tego pytania?

Prawa autorskie: Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

Answer 1

Powiedz, że są $n$ Gry.

Wiemy, że Tom był bramkarzem $8$czasy. Steven będzie bramkarzem$(n-21)$ razy, a Ronny będzie bramkarzem $(n-12)$ czasy.

A więc liczba gier, $n = 8 + n - 21 + n - 12 \,$ to znaczy $n = 25$

To nam mówi, że Ronny był bramkarzem $13$ razy i był graczem terenowym $12$czasy. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy zaczynał jako bramkarz w pierwszym meczu i był bramkarzem w każdym kolejnym meczu - 1, 3, 5, 7, ... 25. Więc musiał strzelić szóstego gola, aby zostać bramkarzem w siódmym meczu.