GIT i osobliwości

Question

Pozwolić $G$ być złożoną grupą redukcyjną działającą na złożonej różnorodności afinicznej $X$ i pozwól $X // G = \operatorname{Spec}\mathbb{C}[X]^G$ być ilorazem GIT.

Czy istnieje związek między liczbą pojedynczą $X$ i że z $X // G$?

Oczywiście, $X//G$ może być bardzo pojedyncza while $X$jest gładka. Ale na przykład zastanawiałem się, czy (lub w jakich warunkach) punkty osobliwe$X$ są odwzorowywane na pojedyncze punkty $X // G$.

Edytować. Miły komentarz Spensera poniżej pokazuje, że odpowiedź na to drugie brzmi nie. Ale być może lepsze i bardziej precyzyjne pytanie brzmi: jeśli$X // G$ nie jest liczbą pojedynczą w $y$, czy istnieje liczba pojedyncza $x \in X$ mapowanie do $y$? Innymi słowy, wykonaj wszystkie włókna$X \to X // G$ w innych niż osobliwe punkty zawierają inny niż osobliwy punkt $X$? Jestem skłonny przyjąć nieredukowalność lub inne fajne właściwości.

Answer 1

To jest odpowiedź na zrewidowane pytanie. To najprostszy kontrprzykład, jaki mogę wymyślić, gdzie grupa redukcyjna jest gładka i połączona, gdzie$X$ jest normalne i afiniczne, i gdzie $Y=X//G$ jest gładka, mimo że istnieją włókna mapy ilorazowej, które są zawarte w liczbie pojedynczej $X$.

Pozwolić $Y$ być $\text{Spec}\ k[x,y,z]$, tj. afiniczne $3$-przestrzeń. Pozwolić$G$ być multiplikatywną grupą jednostek, $G=\text{Spec}\ k[u,u^{-1}]$. Pozwolić$X$ być $\text{Spec}\ k[x,y,z,s,t,t^{-1}]/\langle f \rangle$ gdzie $f$ jest wielomianem, $$f=s^2+t(xz-y^2).$$ Niech akcja $G$ na $X$ być zdefiniowane przez $$\mu:G\times_{\text{Spec}\ k} X \to X, \ \ \mu(u,(x,y,z,s,t)) = (x,y,z,us,u^2t). $$ Pierścień $G$- wielomiany niezmienne to podrzęda, $$k[X]^G = k[x,y,z].$$ Mapa ilorazowa to zwykłe odwzorowanie, $$q:X\to Y, \ \ q(x,y,z,s,t) = (x,y,z).$$ Dla gęstego Zariski otwartego $U = D(xz-y^2)\subset Y$, odwrotny obraz $q^{-1}(U)$ jest $G$-tor lub koniec $U$.

Liczba pojedyncza $X$ jest singlem $q$-błonnik, $q^{-1}(0,0,0)$. Mimo że początek jest gładkim punktem$Y$, każdy punkt tego $q$-włókno jest pojedynczym punktem $X$.