(Hyper) objętość sześcianu demi (hiper)

Question

Demihypercube powstaje poprzez kadłub wypukłą zbioru punktów w$\{0, 1\}^n$ z parzystą liczbą $1$s. Można to sobie wyobrazić jako wzięcie hipersześcianu i odcięcie „każdego innego” wierzchołka.

Przykłady

Na przykład $3$-demihypercube (który jest również regularnym czworościanem) można opisać wierzchołkami $(0,0,0)$, $(0,1,1)$, $(1,0,1)$, i $(1,1,0)$.

Plik $4$-demicube to $16$komórka .

---

Pytanie

Jaka jest hiperobjętość demipercube w tej konstrukcji?

(Nie mogłem znaleźć tych informacji w Wikipedii ani w innym miejscu, a po części jestem ich ciekawy, ponieważ dotyczą one mojego pytania „https://math.stackexchange.com/q/3813522/121988”).

Answer 1

To może być naiwne podejście.

Pół-sześcian to sześcian, ale, jak powiedziałeś, z $2^n/2=2^{n-1}$jej wierzchołki „odcięte”. Ile odcinamy za każdym razem? Odcięliśmy simplex rozpięty przez standardowe wektory bazowe$e_1,...,e_n$, której objętość wynosi $1/n!$.

Zatem pół-sześcian (zbudowany z sześcianu o długości krawędzi 1) powinien mieć objętość

$$V_n = 1-\frac{2^{n-1}}{n!}.$$

Nie jest to do końca to, co otrzymałeś w swojej odpowiedzi. Ale może różnica polega tylko na skali początkowej kostki.

Answer 2

Jak skomentował Jean Marie , wzór pojawia się na dole strony 26 w artykule Franck Barthe i Matthieu Fradelizi „Iloczyn objętościowy ciał wypukłych z wieloma symetriami hiperpłaszczyznowymi”:

Sześcian demihypercube uzyskuje się z sześcianu poprzez odcięcie $2^{n-1}$ prostoty, których wierzchołki są wierzchołkami $x \in \{-1; 1\}^n$ sześcianu takie, że $\prod x_i = -1$ i jego $n$sąsiedzi. Mają pod kątem prostym$x$ a długość krawędzi przechodzących przez ten wierzchołek wynosi $2$ a zatem $$ |DH_n| = 2^n - 2^{n-1} \times \frac{2^n}{n!} = 2^n\left(1 - \frac{2^{n-1}}{n!}\right). $$

Uwaga, autorzy definiują sześcian półwyspowy na wypukłym kadłubie punktów o współrzędnych $\{-1, 1\}$, więc aby uzyskać objętość konstrukcji w pytaniu, podziel przez współczynnik $2^n$, ustępując $$ 1 - \frac{2^{n-1}}{n!}. $$

---

Edycja: oryginalny cytat, który zaczerpnąłem z artykułu, podał iloczyn objętościowy , a nie objętość, o którą prosiłem w pytaniu. Ta odpowiedź została poprawiona, aby to odzwierciedlić.