Od dezintegracji do uwarunkowania

Question

Istnieje artykuł „Kondycjonowanie jako dezintegracja” autorstwa JT Changa i D. Pollarda , który wydaje się konstruować regularne prawdopodobieństwo warunkowe na podstawie dezintegracji . W szczególności z definicji 1, twierdzenia 1 i twierdzenia 2. (iii) w tej pracy możemy podsumować twierdzenie w następujący sposób:

Twierdzenie. Pozwolić$\Omega$ być polską przestrzenią, $\mathcal F = \mathcal B(\Omega)$ bądź Borelem $\sigma$-pole dla $\Omega$, i $\mathbf P$ być miarą prawdopodobieństwa $(\Omega,\mathcal F)$. Pozwolić$(E,\mathcal E)$ być mierzalną przestrzenią, z $\mathcal E$policzalnie generowane i zawierające wszystkie pojedyncze zestawy. Pozwolić$X:(\Omega,\mathcal F) \to (E,\mathcal E)$być elementem losowym. Oznacz przez$P_X := X_*\mathbf P = \mathbf P\circ X^{-1}$ naciskowy środek $X$ na $(E,\mathcal E)$. Jest też rodzina$\{\mathbf P^x\}_{x\in E}$ miar prawdopodobieństwa $(\Omega,\mathcal F)$, takie, że:

• Dla każdego $x\in E$, miara prawdopodobieństwa $\mathbf P^x$ koncentruje się na wydarzeniu $\{X = x\}$.
• Dla wszystkich $A\in\mathcal F$, mapowanie $\mathbf P^\cdot(A): (E,\mathcal E)\to [0,1]$ jest wymierne.
• Dla wszystkich $A\in\mathcal F$ i $B\in\mathcal E$, \ begin {equation} \ mathbf P \ left (A \ cap X ^ {- 1} (B) \ right) = \ int_B \ mathbf P ^ x (A) P_X (dx). \ end {equation} Ponadto rodzina$\{\mathbf P^x\}_{x\in E}$ jest jednoznacznie określony do prawie pewnej równoważności: jeśli $\{\mathbf Q^x\}_{x\in E}$ to kolejna rodzina miar prawdopodobieństwa $(\Omega,\mathcal F)$który spełnia powyższe warunki, to \ begin {equation *} P_X \ {x \ in E: \ mathbf P ^ x \ ne \ mathbf Q ^ x \} = 0. \ end {equation *}

---

Tu jest problem .

Rozważmy ten szczególny przypadek $E=\Omega$ i $\mathcal E$ jest pod-$\sigma$-pole $\mathcal F$który zawiera wszystkie singletony. Od$\Omega$ jest drugi policzalny, jego Borel $\sigma$-pole $\mathcal F$musi być generowany policzalnie i zawierać wszystkie pojedyncze elementy . Jako pod-$\sigma$-pole $\mathcal F$, $\mathcal E$jest również generowany policzalnie. Pozwolić$X = \mathrm{Id}$. Następnie$P_\mathrm{Id} = \mathbf P$ i $\sigma(\mathrm{Id}) = \mathcal E$. Teraz wszystkie założenia twierdzenia są spełnione. Dlatego otrzymujemy plik$\mathbf P$-jako unikalna rodzina miar prawdopodobieństwa $\{\mathbf P^\omega\}_{\omega\in\Omega}$ na $(\Omega,\mathcal F)$ dogadzający:

1. Dla każdego $\omega\in\Omega$, miara prawdopodobieństwa $\mathbf P^\omega$ koncentruje się na singletonie $\{\omega\}$.
2. Dla wszystkich $A\in\mathcal F$, mapowanie $\mathbf P^\cdot(A): (\Omega,\mathcal E)\to [0,1]$ jest wymierne.
3. Dla wszystkich $A\in\mathcal F$ i $B\in\mathcal E$, \ begin {equation} \ mathbf P \ left (A \ cap B \ right) = \ int_B \ mathbf P ^ \ omega (A) \ mathbf P (dx). \ end {equation}

---

Stwierdzenia 2 i 3 są całkowicie takie same, jak sformułowanie prawdopodobieństwa warunkowego , to znaczy$\mathbf P^\omega(A) = \mathbf P(A\mid \mathcal E)(\omega)$. Jeśli jednak połączymy je ze stwierdzeniem 1, to jest coś dość dziwnego. Rzeczywiście, od$\mathbf P^\omega$ koncentruje się na $\{\omega\}$, mamy $\mathbf P^\omega(A) = \mathrm{1}_A(\omega)$ dla wszystkich $A\in\mathcal F$, podczas gdy powinno to dotyczyć tylko $A\in\mathcal E$ od $\mathbf P^\omega$ jest prawdopodobieństwem warunkowym według instrukcji 3. Poza tym mapowanie $\mathbf P^\cdot(A) = \mathrm{1}_A: (\Omega,\mathcal E)\to [0,1]$ jest mierzalny tylko dla $A\in\mathcal E$, ale nie dla wszystkich $A\in\mathcal F$ żądane w oświadczeniu 2.

---

Więc gdzie to się nie udaje? Wszelkie uwagi lub wskazówki będą mile widziane. TIA ...

---

EDYCJA: Oto kilka dalszych uwag:

1. Po prostu twierdziłem, że „jako pod-$\sigma$-pole $\mathcal F$, $\mathcal E$jest również generowany policzalnie ". To jest błędne. Zobacz np. tutaj kontrprzykład.
2. Dzięki komentarzowi @aduh problem sprowadza się do tego, czy musi $\mathcal E = \mathcal F$? czy istnieje odpowiednia pod-$\sigma$-pole $\mathcal F$który jest generowany policzalnie i zawiera wszystkie pojedyncze elementy? Ja po tym jak inny pytanie w Math.SE .

---

Wniosek: zgodnie z moimi założeniami$\mathcal E$ musi pokrywać się z $\mathcal F$. Więc problem jest trywialny. Zobacz zaakceptowaną odpowiedź udzieloną przez @GEdgar w „innym pytaniu” , o którym wspomniałem, aby poznać szczegóły.

Answer 1

W tym miejscu zamieszczam odpowiedź dotyczącą uczciwości.

Jak powiedział w Zawarcie części na koniec pytanie, możemy udowodnić$\mathcal E = \mathcal F$postępując zgodnie z liniami @GEdgar . Dokładniej, możemy udowodnić następujące twierdzenie:

Twierdzenie. Pozwolić$\Omega$ być polską przestrzenią, $\mathcal F=\mathcal B(\Omega)$ bądź Borelem $\sigma$-pole dla $\Omega$. Gdyby$\mathcal E\subset \mathcal F$ jest policzalnie generowanym pod-$\sigma$-pole zawierające wszystkie pojedyncze zestawy $\mathcal E = \mathcal F$.

Twierdzenie jest trywialne, o ile znamy następujący lemat, zaadaptowany z Twierdzenia 3 i Twierdzenia 1 w pracy D. Blackwella „O klasie prawdopodobieństwa przestrzeni” , a także dwa fakty, że polska przestrzeń jest analityczna siebie i że atomy w polskiej przestrzeni są niczym innym jak singletonami.

Lemat. Pozwolić$\Omega$ być polską przestrzenią, $\mathcal F=\mathcal B(\Omega)$ bądź Borelem $\sigma$-pole dla $\Omega$. Gdyby$\mathcal E\subset \mathcal F$ jest policzalnie generowanym pod-$\sigma$-field, a następnie zestaw $A\in\mathcal F$ należy do $\mathcal E$ wtedy i tylko wtedy gdy $A$ jest związkiem singletonów.