Rachunek Schuberta

Question

Pozwolić $X = Gr(2,4)$ złożony Grassmannian of $2$- samoloty w $V = \Bbb C^4$ i $S$ pakiet tautologiczny, $Q$pakiet ilorazowy. Pierścień kohomologii jest generowany przez$c_1(S), c_2(S)$ z relacjami $c(S)c(Q) = 1$pochodzące z krótkiej, dokładnej sekwencji wiązek wektorów $0 \to S \to V \to Q \to 0$.

Należy dostać $c_1(S)^4 = 1$wyłącznie z tych relacji, ale nie jestem w stanie tego zrobić. Czy ktoś może wyjaśnić, jak to zrobić?

Answer 1

Po pierwsze, $c_1(S)^4 = 2$, nie 1. Samo obliczenie jest dość łatwe. Pozwól, że oznaczę$a_i := c_i(S)$, $b_i = c_i(Q)$. Wtedy stosunki są$$ a_1 + b_1 = a_2 + a_1b_1 + b_2 = a_1b_2 + a_2b_1 = a_2b_2 = 0. $$ Pierwszy daje $b_1 = -a_1$, drugi podaje $b_2 = a_1^2 - a_2$, a ostatnie dwa dają $$ a_1^3 = 2a_1a_2, \qquad a_1^2a_2 = a_2^2. $$ Połączenie dwóch ostatnich równości daje $ a_1a_2^2 = a_1(a_1^2a_2) = (a_1^3)a_2 = 2a_1a_2^2, $ W związku z tym $a_1a_2^2 = 0$. Oznacza to, że pierścień kohomologii jest rozpięty$\mathbb{Z}$ przez $1$, $a_1$, $a_2$, $a_1a_2$, $a_2^2$, i to $$ a_1^4 = 2a_2^2 $$ co przekłada się na wymaganą równość $c_1(S)^4 = 2$.