Rotacja diagonalizująca hamiltonian

Question

Natknąłem się na następujące pytanie:

Biorąc pod uwagę hamiltonian spinu$1/2$ cząstka $$\hat{H}=\epsilon\begin{pmatrix} 0 & -e^{i\pi/4}\\ -e^{-i\pi/4} & 0 \end{pmatrix} = \frac{2\epsilon}{\hbar} \vec{S} \cdot \frac{\hat{y}-\hat{x}}{\sqrt{2}}$$

jaka jest transformacja rotacji, która diagonalizuje $\hat{H}$? Znajdź kąt obrotu$\theta$ i oś obrotu $\hat{n}$.

Znalezienie macierzy diagonalizującej $\hat{H}$nie jest szczególnie trudne. Na przykład,

$$U=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & -\frac{1+i}{\sqrt{2}}\\ \frac{1-i}{\sqrt{2}} & 1 \end{pmatrix}$$

wykonuje pracę. Jednak następnie twierdzi się, że ta macierz odpowiada transformacji przez kąt$\theta=\pi/2$ o $\hat{n}=(\hat{x}+\hat{y})/\sqrt{2}$. Ale nie jestem do końca pewien, jak można to od razu wywnioskować z wpisów$U$. Co więcej, nie sądzę$U$ można rozłożyć na sumę $\sigma_x$ i $\sigma_y$Macierze Pauliego. Myślałem o bezpośrednim obliczeniu$\mathcal{D(\hat{n},\theta})=\exp\left[-\frac{i}{\hbar}\vec{S}\cdot \left(\frac{\hat{x}+\hat{y}}{\sqrt{2}}\right)\right]$ (operator obrotu), aby sprawdzić, czy pokrywa się z $U$w odpowiedniej podstawie, ale wydaje się to zbyt wyczerpujące. Może brakuje mi czegoś trywialnego?

Answer 1

Po prostu użyj standardowego potęgowania macierzy Pauliego , wiedząc o tym$\vec S =\hbar \vec \sigma /2$ dla reprezentacji dubletu, która zmniejsza o połowę kąty obrotu, $$ e^{-i{\pi\over 4}\vec \sigma \cdot { (\hat x + \hat y) \over \sqrt{2}} } = \cos (\pi /4) -i \vec{\sigma}\cdot \frac{(\hat x +\hat y)} {\sqrt{2}} ~ \sin (\pi/4)\\ = \frac{1}{\sqrt{2}} (I -i(\sigma_x+\sigma_y)/\sqrt{2})=U. $$

Jest to analogiczne do wzoru Eulera.

Rozumiem, że wykonałeś algebrę diagonalizacji, wykorzystując właściwości macierzy Pauliego: prawie żadne obliczenia!

• Rozważenie dwóch ortogonalnych wektorów jednostkowych może pomóc twojej intuicji $\hat y \pm \hat x$ i obrócić drugą o kąt prosty wokół pierwszej: zabierze cię ze sobą $\hat z$, więc po przekątnej $\sigma_z$. I odwrotnie, wiedząc$\sigma_z$ to jedyna diagonalna macierz Pauliego, jak się obracasz $\hat y - \hat x$ do $\hat z$? Oczywiście przez obrót π / 2 wokół ich iloczynu jako osi! Narysuj figurę.

Answer 2

ODNIESIENIE: Moja odpowiedź na temat zmiany hamiltonianu po obróceniu układu współrzędnych .$\boldsymbol{=\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!=}$

Uwaga: W dalszej części dla wektorów jednostkowych wzdłuż osi współrzędnych $\hat{x},\hat{y},\hat{z}$ Używam symboli $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ odpowiednio. $\boldsymbol{=\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!=}$

Hamiltonian to następująca pustelnicza macierz bezśladowa
\ begin {equation} H \ boldsymbol {=} \ alpha \ left (\ sigma_ {y} \ boldsymbol {-} \ mathrm \ sigma_ {x} \ right) \ ,, \ quad \ alpha \ boldsymbol {=} \ dfrac {\ sqrt {2} \ epsilon} {\ hbar} \ tag {01} \ label {01} \ end {equation} Z bijekcji między pustymi macierzami bez śladów i rzeczywistymi 3-wektorami (omówione w akapicie `` Rozumowanie '' wspomnianego ODNIESIENIA) reprezentatywnym 3-wektorowym rzeczywistym tego hamiltonianu jest \ begin {equation} \ mathbf {h} \ boldsymbol {=} \ alpha \ left (\ mathbf {j} \ boldsymbol { -} \ mathbf {i} \ right) \ tag {02} \ label {02} \ end {equation}, jak pokazano na rysunku-01.

Jeśli hamiltonian $H'$ równania \ eqref {01} należy przekształcić na ukośne $H'$wtedy musimy mieć \ begin {equation} H '\ boldsymbol {=} c \, \ sigma_ {z} \ ,, \ quad c \ in \ mathbb {R} \ tag {03} \ label {03} \ end { equation} Powyższe wyrażenie jest uzasadnione, ponieważ nie tylko$\sigma_{z}$ jest ukośną macierzą pustelniczą, ale ponadto jest bezśladowa$H'$ musi być bezśladowy, ponieważ ślad jest niezmienny w przypadku przekształceń podobieństwa).

Do przekształconej przekątnej pustelniczej matrycy bez śladów $H'$tam odpowiada reprezentatywny 3-wektor rzeczywisty \ begin {equation} \ mathbf {h '} \ boldsymbol {=} c \, \ mathbf {k} \ tag {04} \ label {04} \ end {equation} Jeśli transformacja musi być rotacją, a następnie wektorem$\mathbf{h'}$ równania \ eqref {04} będzie obrazem wektora $\mathbf{h}$of equation \ eqref {02} so \ begin {equation} \ Vert \ mathbf {h '} \ Vert \ boldsymbol {=} \ Vert \ mathbf {h} \ Vert \ quad \ boldsymbol {\ Longrightarrow} \ quad c \ boldsymbol {=} \ sqrt {2} \, \ alpha \ tag {05} \ label {05} \ end {equation} czyli\begin{align} H'&\boldsymbol{=}\sqrt{2}\,\alpha\,\sigma_{z} \tag{06a}\label{06a}\\ \mathbf{h'} &\boldsymbol{=}\sqrt{2}\,\alpha\,\mathbf{k} \tag{06b}\label{06b} \end{align} jak pokazano na rysunku-01.

Najprostszy obrót, który przynosi wektor $\mathbf{h}$ na wektorze $\mathbf{h'}$ jest wokół wektora jednostkowego $\mathbf{n}$ pod kątem $\theta$ podane przez \begin{align} \mathbf{n}&\boldsymbol{=}\dfrac{\mathbf{i}\boldsymbol{+}\mathbf{j}}{\sqrt{2}} \tag{07a}\label{07a}\\ \theta &\boldsymbol{=}\dfrac{\pi}{2} \tag{07b}\label{07b} \end{align}pokazano na rysunku-01. Rotację tę reprezentuje następująca specjalna jednolita macierz$SU(2)$ \ begin {equation} \ boxed {\: \: U _ {\ mathbf {n}, \ theta} \ boldsymbol {=} \ cos \ frac {\ theta} {2} \ boldsymbol {-} i (\ mathbf {n } \ boldsymbol {\ cdot} \ boldsymbol {\ sigma}) \ sin \ frac {\ theta} {2} \ boldsymbol {=} \ dfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (I \ boldsymbol {- } i \, \ dfrac {\ sigma_x \ boldsymbol {+} \ sigma_y} {\ sqrt {2}} \ right) \ vphantom {\ dfrac {\ dfrac {a} {b}} {\ dfrac {a} {b }}} \: \:} \ tag {08} \ label {08} \ end {equation}

Można to łatwo zweryfikować, wykorzystując właściwości macierzy Pauliego $U_{\mathbf{n} ,\theta}$ diagonalizuje hamiltonian $H$, czyli \ begin {equation} U _ {\ mathbf {n}, \ theta} \, H \, U ^ {*} _ {\ mathbf {n}, \ theta} \ boldsymbol {=} H '\ tag { 09} \ label {09} \ end {equation} lub jawnie \ begin {equation} \ dfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (I \ boldsymbol {-} i \, \ dfrac {\ sigma_x \ boldsymbol {+} \ sigma_y} {\ sqrt {2}} \ right) \, \ left (\ sigma_y \ boldsymbol {-} \ sigma_x \ vphantom {\ dfrac {\ sigma_x \ boldsymbol {+} \ sigma_y} {\ sqrt { 2}}} \ right) \, \ dfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (I \ boldsymbol {+} i \, \ dfrac {\ sigma_x \ boldsymbol {+} \ sigma_y} {\ sqrt { 2}} \ right) \ boldsymbol {=} \ sqrt {2} \, \ sigma_z \ tag {10} \ label {10} \ end {equation}

Zauważ, że istnieje nieskończenie wiele obrotów, które powodują wektor $\mathbf{h}\boldsymbol{=}\alpha\left(\mathbf{j}\boldsymbol{-}\mathbf{i}\right)$ równania \ eqref {02} do wektora $\mathbf{h'}\boldsymbol{=}\sqrt{2}\,\alpha\,\mathbf{k}$ równania \ eqref {06b}, więc istnieje nieskończenie wiele unitarnych macierzy, takich jak macierz równania \ eqref {08}, które przekątują hamiltonian $H\boldsymbol{=}\alpha\left(\sigma_{y}\boldsymbol{-}\mathrm \sigma_{x}\right)$równania \ eqref {01}. Na przykład obrót wokół wektora jednostkowego$\mathbf{m}$ pod kątem $\phi$ podane przez \begin{align} \mathbf{m}&\boldsymbol{=}\dfrac{\boldsymbol{-}\mathbf{i}\boldsymbol{+}\mathbf{j}\boldsymbol{+}\sqrt{2}\mathbf{k}}{2} \tag{11a}\label{11a}\\ \phi &\boldsymbol{=}\pi \tag{11b}\label{11b} \end{align}jak pokazano na rysunku-02 diagonalizuje hamiltonian. Odpowiednia specjalna macierz jednostkowa to \ begin {equation} \ boxed {\: \: U _ {\ mathbf {m}, \ phi} = \ cos \ frac {\ phi} {2} -i (\ mathbf {m} \ boldsymbol {\ cdot} \ boldsymbol {\ sigma}) \ sin \ frac {\ phi} {2} = \ dfrac {i} {2} \ left (\ sigma_x- \ sigma_y- \ sqrt {2} \ sigma_z \ right ) \ vphantom {\ dfrac {\ dfrac {a} {b}} {\ dfrac {a} {b}}} \: \:} \ tag {12} \ label {12} \ end {equation} Ponownie, to można by to łatwo zweryfikować, korzystając z właściwości macierzy Pauliego$U_{\mathbf{m} ,\phi}$ diagonalizuje hamiltonian $H$czyli \ begin {equation} U _ {\ mathbf {m}, \ phi} \, H \, U ^ {*} _ {\ mathbf {m}, \ phi} \ boldsymbol {=} H '\ tag { 13} \ label {13} \ end {equation} lub jawnie \ begin {equation} \ left [\ dfrac {i} {2} \ left (\ sigma_x- \ sigma_y- \ sqrt {2} \ sigma_z \ right) \ right] \, \ left (\ sigma_y \ boldsymbol {-} \ sigma_x \ vphantom {\ dfrac {\ sigma_x \ boldsymbol {+} \ sigma_y} {\ sqrt {2}}} \ right) \, \ left [\ boldsymbol {-} \ dfrac {i} {2} \ left (\ sigma_x- \ sigma_y- \ sqrt {2} \ sigma_z \ right) \ right] \ boldsymbol {=} \ sqrt {2} \, \ sigma_z \ tag { 14} \ label {14} \ end {equation}