Sheafification stałego presheaf

Question

Czytam o sheafifikacji, ale jest to dla mnie zbyt abstrakcyjne. Próbuję wypracować przykład snopowania ciągłego presheafu i mój doradca podaje mi taki przykład: Niech$X$ być przestrzenią topologiczną i $A$być grupą abelową. Pozwolić$\mathfrak{A}^+$ być presheafem funkcji ciągłych, tj $$\mathfrak{A}^+(U)=\{\alpha : U → A \text{ continuous}\}$$ gdzie $A$ ma topologię dyskretną, dla każdego zbioru otwartego $U$. Chce, żebym pokazał 3 rzeczy:

(1) $\mathfrak{A}^+$ jest snopem grup abelowych.

(2) Wszystkie łodygi $\mathfrak{A}^+_x=A$.

(3) Mapa naturalna $f : \mathfrak{A} → \mathfrak{A}^+$ ze stałego snopa indukuje izomorfizm na łodygach

(1) jest łatwe, ponieważ funkcja jest $0$ jeśli tak jest $0$lokalnie. Myślę, że (2) i (3) powinny być łatwe, ponieważ nie mamy zbyt wielu informacji, ale o dziwo nie wiem, jak z nich korzystać.

W (2) znam mapy $\mathfrak{A}^+(U)\to \mathfrak{A}^+(V)$ gdy $V\subseteq U$to tylko ograniczenie. Z definicji łodyga$\mathfrak{A}^+_x=\varinjlim_{x\in U} \mathfrak{A}^+(U)$. Ale jak przekonwertować definicję (grupę funkcji ciągłych) na$A$? Czuję nawet, że brakuje nam tutaj informacji, ponieważ nie znamy nawet struktury otwartych zbiorów$X$i nie widzę żadnej naturalnej mapy od bezpośredniego ograniczenia do $A$.

(3) jest dla mnie jeszcze bardziej niejednoznaczne. Mówić$U$jest otwarte. Jak naturalnie mapujesz element w$A=\mathfrak{A}$do funkcji $U\to A$ w $\mathfrak{A}^+$? Wiem, że mapy odpowiadają diagramowi, więc$f_U(a)|_V=f_V(a)$ gdzie $V\subseteq U$są otwartymi zbiorami. Według (2) łodygi obu są$A$, ale nie sądzę, by mapa indukowana była tożsamością, więc utrudnia mi zrozumienie, dlaczego to jest iso?

Jestem tylko początkującym w geometrii algebraicznej, więc te pytania mogą być oczywiste. Dziękuję Ci.

Answer 1

(1) O wiele bardziej ogólnie (a zatem znacznie łatwiej!):
Biorąc pod uwagę dowolną przestrzeń topologiczną$Y$ jest snopek $\mathcal C_Y$ na $X$ charakteryzujący się wymaganiem, że dla dowolnego otwartego podzbioru $U\subset X$ mamy $\mathcal C_Y(U)=\mathcal C(U,Y)$, zbiór funkcji ciągłych $U\to Y$.
Twój$ \mathfrak A^+$ jest dokładnie snopem $\mathcal C_A$, gdzie $A$ posiada topologię dyskretną.

(2) Mamy morfizm grup abelowych $i:\mathcal C_{A,x}\to A$ zdefiniowane w następujący sposób: dany zarazek $\gamma\in \mathcal C_{A,x}$ reprezentujemy to przez jakąś ciągłą funkcję $g:U\to A$ i definiujemy $i(\gamma)=g(x)$.
Ten morfizm jest izomorfizmem, ponieważ ma równie wyraźną odwrotność morfizmu grupowego$j:A\to \mathcal C_{A,x}$ wysyłanie $a\in A$ do $j(a)= \operatorname [{const}(a)]_x$, zarazek w $x$ funkcji stałej $\operatorname {const}(a): X\to A$ wysyłanie dowolnego punktu $X$ do $a$.

(3) Dla każdej okolicy $U\subset X$ z $x$ Mapa $\mathfrak A(U)=A \to \mathcal C_A(U): a\mapsto \operatorname {const}(a)$ jest wyraźnie iniekcyjna, a tym samym przyjmuje bezpośrednie ograniczenia mapy $f: \mathfrak A_x\to \mathcal C_{A,x}$jest również iniekcyjny.
Suriektywność też jest łatwa: w notacji (b) zarodek$\gamma=[g]_x\in \mathcal C_{A,x}$ to obraz poniżej $f$ zarazka $[\operatorname {const}(g(x))]_x\in \mathfrak A_x$.
I tak udowodniliśmy, że morfizm$f: \mathfrak A_x\to \mathcal C_{A,x}$ jest rzeczywiście bijektywna.