wymiar modułu i prostych modułów

Question

Próbuję ogarnąć głowę tymi nowymi koncepcjami. Załóżmy, że mam scenariusz, w którym$V$ to darmowy moduł, a także $V$ jest modułem o skończonych wymiarach, jeśli V jest proste, musi $V$ być wymiarem $1$?

Def:

Mówi się, że moduł jest prosty, jeśli którykolwiek podmoduł takiego modułu jest również $\{0\}$ lub siebie.

Myślę, że jeśli mamy $A$-moduł $V$ co jest również skończone wymiarowo, a następnie powiedz $V=\langle v_1,\cdots,v_n\rangle$, z których pochodzą skalary $A$, to z pewnością, jeśli weźmiemy jakiś właściwy podzbiór takich wektorów bazowych, ich rozpiętość byłaby odpowiednim podmodułem $V$? W związku z tym$V$ jest prosta tylko wtedy, gdy $n=1$? (oczywiście nie jest odwrotnie, jeśli$n=1$ to niekoniecznie musi być proste)

Czuję, że coś jest nie tak z moim argumentem, musiałem pomylić coś z modułów z algebrą liniową.

Answer 1

Jeśli $V$ jest prosta, musi $𝑉$ być wymiarem 1?

Nie. Prostota modułu algebry nad ciałem niewiele mówi o jego wymiarze.

Rozważmy pierścień matrycy $R=M_2(F)$ dla pola $F$.

Następnie $F\times F$, postrzegane jako prawo $R$ moduł wykorzystujący mnożenie macierzy, to prosty moduł $2$ wymiarowe ponad $F$.

Kolejny przykład z tym samym pomysłem: niech $V$ być nieskończenie wymiarową przestrzenią wektorową i $E$być jego pierścieniem liniowych przekształceń. Następnie$V$ jest w rzeczywistości proste $E$ moduł, a jeszcze $V$ ma nieskończoność $F$ wymiar.

---

To wszystko zakłada, że ​​miałeś na myśli „wymiar” w sposób, w jaki jest najczęściej używany: jako niezmiennik przestrzeni wektorowej. Jeśli w rzeczywistości miałeś na myśli inny typ wymiaru, musisz określić. Jest kilka, o których możesz mówić. Na przykład, jeśli przez wymiar miałeś na myśli „długość kompozycji”, to tak , prosty moduł ma długość kompozycji$1$.