Zagórska 172

Question

Problem jest sformułowany przy użyciu starej terminologii i chcę zrozumieć, co tak naprawdę mówi.

Problem brzmi: „Spacja $E$typu (B) ma własność (a), jeśli słabe domknięcie dowolnego zbioru funkcjonałów liniowych jest słabo domknięte. [Ciąg funkcjonałów liniowych$f_n(x)$ zbiega się słabo do $f(x)$ gdyby $f_n(x) \to f(x)$ dla każdego $x$.] Przestrzeń $E$ typu (B) ma właściwość (b), jeśli każda sekwencja funkcjonałów liniowych słabo zbieżnych zbiega się słabo jako ciąg elementów w przestrzeni sprzężonej $\bar{E}$. Pytanie: Czy każda możliwa do rozdzielenia przestrzeń typu (B), która ma właściwość (a) również posiada właściwość (b)? "

Wiem, że „przestrzeń typu (B)” we współczesnej terminologii oznacza „przestrzeń Banacha”.

P1: Czy „funkcjonał liniowy” obejmuje założenie ciągłości?

P2: Co to jest przestrzeń koniugatu? Czy to oznacza podwójną przestrzeń ciągłych funkcjonałów liniowych na$E$?

Jeśli odpowiedzi na pytania Q1 i Q2 są twierdzące, oznaczałoby to, że przestrzenie Banacha z własnością (b) są dokładnie tym, co obecnie nazywa się przestrzeniami Grothendiecka. [Przestrzeń Grothendiecka to przestrzeń Banacha$E$ takie, że każda sekwencja w podwójnej przestrzeni $E^*$ to zbieżne słabe * - to znaczy w odniesieniu do $\sigma(E^*,E)$ - zbiega się również słabo - to znaczy w odniesieniu do $\sigma(E^*,E^{**})$.]

Nie jestem też pewien, jak rozumieć warunek „słabe domknięcie dowolnego zbioru funkcjonałów liniowych jest słabo domknięte”, ponieważ wydaje się to tautologią. Czy chodzi o to, że rozważamy sekwencyjne zamknięcie?

Answer 1

Odpowiedź zarówno na Q1 (w podanym kontekście), jak i na Q2 brzmi tak. Jeśli chodzi o słabe zamknięcie dowolnego zestawu funkcjonału liniowego, który jest liniowy, który wydaje mi się sekwencyjną zbieżnością słabej gwiazdy - to znaczy, jeśli zbiegają się sekwencyjnie w topologii słabej gwiazdy, to zbiegają się w słabej topologii w układzie dualnym.