Objetivo deste artigo: Definir e calcular este valor numericamente. As constantes apareceriam na Matemática.

Conhecimento presumido: Integração (Cálculo), Conceito de convergência

Definição

Conhecida também como a constante de Euler (não confundir com e = 2,718281828459045…), a Constante de Euler-Mascheroni que é denotada pela gama minúscula (γ) é definida como,

“O limite como n → ∞ da diferença entre a série harmônica e o logaritmo natural de n .”

Ou,

Esta constante com um valor de aproximadamente γ = 0,57721566490153286060651209008240243104215933593992… existe. Mas ainda não se sabe se a constante é transcendental ou algébrica. Na verdade, nem se sabe se γ é racional ou irracional.

Se esta constante for racional, o denominador deve ser maior que 10²⁴²⁰⁸⁰.

Cálculo do valor de γ

Vamos substituir vários valores de n na equação definida acima de γ,

Podemos ver aqui que à medida que n aumenta e se torna cada vez maior, ou, à medida que tende ao infinito, o valor se aproxima do valor inicialmente definido dessa constante. Este número é a Constante de Euler-Mascheroni .

Representação gráfica de γ

A área laranja sob a curva y = 1/ x é a função logarítmica natural. Isso ocorre porque a integração de, ou área sob o gráfico y = 1/x é ln x .

A área verde das barras é a representação gráfica da série harmônica.

A diferença entre essas duas áreas sombreadas pelos pontos azuis (abaixo) representa a constante de Euler — Mascheroni,

Prova de Convergência

Sabemos que à medida que n tende ao infinito, a função que define a constante de Euler — Mascheroni converge para um determinado valor constante. Mas como provamos essa convergência sem nenhuma força bruta?

Então, sabemos que,

Onde,

Vamos levar,

que dá a constante quando n tende ao infinito.

Para provar a convergência, vamos

1. Prove que a sequência é decrescente e então,
2. Prove que é limitado .

Agora, expressando ln⁡(1 +x ) usando a série de Taylor ,

Tomando x = -1/ n ,

Usando (3) em (2),

Desta forma,

Portanto, a sequência é monotonicamente estritamente decrescente .

II. A SEQUÊNCIA É LIMITADA

a) Limite Superior da Sequência

Como agora sabemos que a sequência é estritamente decrescente, o primeiro termo da sequência seria o maior termo.

Assim, o primeiro termo é,

Portanto, o limite superior é 1 .

a) Limite Inferior da Sequência

Nós sabemos isso,

Isso pode ser escrito como,

Agora,

Podemos definir e^x como

Se omitirmos o caso em que x = 0,

Então,

Tomando log natural em ambos os lados,

De (5),

Tomando a soma em ambos os lados,

De (4),

Adicionando H_n em ambos os lados da equação,

Ou,

Portanto, o limite inferior é 0.

Assim, G_n é uma sequência monotonicamente estritamente decrescente com limites,

Portanto, a sequência converge para um limite γ , tal que, 0 < γ < 1.

O limite da sequência G_n como n → ∞ é a constante de Euler — Mascheroni .