Matemática hiperconcisa D5: números complexos

Coordenadas polares (r, θ) = (magnitude, ângulo anti-horário com cartesiano (1, 0)) podem ser usadas para acompanhar os ângulos entre vários vetores em duas dimensões. Eles estão relacionados às coordenadas cartesianas (x, y) através das equações x = r⦁cos(θ) e y = r⦁sin(θ) ((−r, θ) refere-se ao ponto (r, θ + τ/2 ), e se k for qualquer número inteiro, (r, θ + k⦁τ) refere-se ao ponto (r, θ)). Resolvendo para r e θ, r² = x² + y² e

Por exemplo,

Multiplicar um número (vetor 1 dimensional) por −1 faz com que ele gire τ/2 radianos em torno de 0 (no espaço 1 dimensional). Pode-se definir um novo tipo de número (i) tal que a multiplicação de um número por i faz com que ele gire τ/4 radianos em torno de 0 (no plano complexo); qualquer número na forma x + i⦁y, onde x e y são números reais (qualquer número que possa ser definido como o limite de uma expressão decimal) e i² = −1 é conhecido como um número complexo. O plano complexo é o espaço bidimensional que contém todos os números complexos.

Se z for qualquer número complexo (e é uma constante definida com cálculo),

Por exemplo,

Ao usar as propriedades de “funções” inversas com números complexos, você não pode mais ignorar os outros ramos:

Teorema fundamental da álgebra: Se cada aₖ e bₖ é um número complexo que não depende de z (alguns podem ser iguais), então