O Trem B é um Trem Expresso?

Subtítulo: Uma exploração matemática esotérica de “local” versus “expresso” no sistema de metrô de Nova York para pessoas com muito tempo livre.

Para responder à questão do Trem B, devemos primeiro abordar uma questão filosófica mais profunda: o que significa ser um trem expresso?

Talvez “local” versus “expresso” esteja nos olhos do B-holder. Um executivo de entretenimento indo de sua residência em Park Slope para seu escritório no Rockefeller Center acharia o trem B suficientemente expresso. Considerando que um Upper West Sider indo de seu gastroenterologista em Mount Sinai West para seu dermatologista na 86th e CPW pode se encontrar engatinhando em um trem B local, lamentando não confiar em seu instinto inicial de pegar o 1. E o que ambos fariam essas pessoas têm a dizer sobre um trem que nem se dá ao trabalho de rodar à noite ou nos fins de semana?

Se você agora acredita que o local ou a expressividade de um trem é uma questão de opinião subjetiva, você estaria errado. Na verdade, é uma questão de fato matemático irrefutável. Para entender isso, introduzimos a seguinte ideia-chave: um trem só pode ser expresso em relação a outro trem.

Especificamente, o trem X é expresso em relação ao trem Y se o trem Y fizer uma série de paradas consecutivas a_1, a_2, …, a_n , e o trem X parar em a_1 e, imediatamente depois, em a_n . Por outro lado, se o trem X é expresso em relação ao trem Y , o trem Y é local em relação ao trem X .

Agora que temos uma definição do que significa ser expresso, podemos responder à pergunta feita no início. O trem B é expresso em relação aos trens F, M e Q e local em relação aos trens A e D. No entanto, podemos levar esse conceito adiante.

Um indivíduo verdadeiramente perturbado pode estar inclinado a construir um grafo direcionado para visualizar as relações locais-expressas entre trens no sistema. Se tal indivíduo construísse tal gráfico, ficaria assim:

A partir deste gráfico podemos fazer algumas observações interessantes:

• Existem cinco trens puramente expressos (A, D, Z, 4, 5), sete trens puramente locais (C, J, M, R, W, 1, 6) e sete trens locais e expresso (B, E, F, N, Q, 2, 3). O G, L, 7 e todos os três ônibus não são locais nem expressos.
• O trem D é o trem “mais expresso”, pois é expresso em relação ao maior número de trens (B, F, M, R).
• O trem R é o trem “mais local”, pois é local em relação ao maior número de trens (D, E, F, N, Q). Imagino que aqueles de vocês que viajam regularmente no trem R chegaram à mesma conclusão intuitivamente.
• O D é expresso em relação ao B, que é expresso em relação ao F, que é expresso em relação ao M. Isso torna a linha BDFM “bem ordenada” em termos de expressividade. É a única linha “bem ordenada” com mais de dois trens.
• Se incluíssemos o serviço noturno, isso tornaria o D expresso em relação ao A, o F expresso em relação ao E e o 3 expresso em relação ao 2. Tornar o D expresso em relação ao A significa que o D é recursivamente expressa em relação a todos os trens em seu gráfico.
• Uma boa propriedade que emerge do gráfico é que não há ciclos (ou seja, nenhuma situação em que dois trens são locais e expressos um em relação ao outro). No entanto, a presença dessa propriedade depende de uma sutileza na definição de estações. O Q é expresso em relação ao N de 42nd St a 57th St, com o N parando na 49th St no meio. No entanto, pode-se também dizer que o N é expresso em relação ao Q do Canal St ao Atlantic Av, com o Q parando no DeKalb Av no meio. Para evitar essa situação perigosa, consideramos linhas separadas (de acordo com a definição do MTA de uma linha) parando na mesma estação para serem estações separadas. Neste caso, significa que a parada da Atlantic Av na Q (Brighton Line) e a parada da Atlantic Av na N (Fourth Avenue Line) são separadas e, como tal, o N não é expresso em relação ao Q (embora ele o levará ao Barclays Center um pouco mais rápido).