$(a+1)(b+1)(c+1)\leq4$ สำหรับด้านสามเหลี่ยม $a,b,c$ ด้วย $ab+bc+ac=1$

Question

ระบุว่า $a,b,c$ คือความยาวของด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมและ $ab+bc+ac=1$คำถามคือการพิสูจน์ $$(a+1)(b+1)(c+1)\leq4\,.$$

ความคิดหรือคำแนะนำใด ๆ จะได้รับการชื่นชม

ปัญหานี้เป็นปัญหาที่ 6 รอบที่ 1 ของ BMO (อังกฤษคณิตศาสตร์โอลิมปิก) 2010/2011 ที่สามารถเห็นได้ที่นี่

สังเกต. คำถามนี้ได้รับตัวเองตอบ อย่างไรก็ตามยินดีต้อนรับแนวทางใหม่ ๆ เสมอ!

Answer 1

คำแนะนำ: การขยาย LHS ช่วยให้เรา$(a+1)(b+1)(c+1)=a+b+c+ab+bc+ca+abc+1.$

ตอนนี้ $(1-a)(1-b)(1-c)=1+ab+bc+ca-a-b-c-abc$.

เราได้รับการเพิ่มตัวตนทั้งสอง $$\prod_{cyc}(1+a)+\prod_{cyc}(1-a)=4$$

Answer 2

ขอบคุณคำใบ้ของ SarGe ตอนนี้ฉันรู้วิธีแก้ปัญหาแล้ว ฉันกำลังโพสต์ด้านล่างส่วนที่เหลือของโซลูชันตามคำแนะนำของ SarGe สำหรับการอ้างอิงในอนาคต

คำถามลดการพิสูจน์ $(1-a)(1-b)(1-c)\ge0$. สมมติตรงกันข้าม แล้วอย่างใดอย่างหนึ่ง$a,b,c\gt1$หรือเพียงหนึ่งใน $a,b,c$ มีค่ามากกว่า 1 (บอกว่าเป็น $a$). กรณีในอดีตเป็นไปไม่ได้เพราะมันขัดแย้งกัน$ab+bc+ac=1$เห็นได้ชัด ในกรณีหลังให้ใช้อสมการสามเหลี่ยม$b+c\gt a\gt1$และจากนั้น $ab+bc+ac=a(b+c)+bc\gt1$ซึ่งเป็นความขัดแย้ง ดังนั้นการพิสูจน์จึงเสร็จสมบูรณ์

Answer 3

ตกลงก่อนอื่นให้ขยายวงเล็บ

$(a+1)(b+1)(c+1)=abc+ab+ac+bc+a+b+c+1$.

ตอนนี้เรารู้แล้ว $ab+ac+bc=1$ ดังนั้นเราจึงต้องการจริงๆ $abc+a+b+c+1 \leq 3$ หรือ $abc+a+b+c \leq{2}$.

ตั้งแต่ $a,b$ และ $c$ สร้างด้านข้างของสามเหลี่ยมเรารู้ว่า $a \leq b+c$ และ $b \leq a+c$ และ $c \leq a+b$.

ฉันพบว่ามันยากที่จะก้าวไปจากที่นี่และสงสัยว่าผลลัพธ์จะเป็นจริงหรือไม่ก็ทำการทดลองทางความคิด ให้เราพูด$a,b$ และ $c$ ทั้งหมดมีค่าเท่ากัน $1/\sqrt{3}$. นี่จะเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าและ$ab+bc+ac=1/3+1/3+1/3=1$.

แล้ว $(a+1)(b+1)(c+1)=abc+ab+ac+bc+a+b+c+1$=

$1/3 \sqrt{3}+1/3+1/3+1/3+1/\sqrt{3}+1/\sqrt{3}+1/\sqrt{3}+1=$

$1/3\sqrt{3}+1+\sqrt{3}+1$.

ซึ่งจำเป็นต้องมี $\leq{4}$

Iff $1/3\sqrt{3} +\sqrt{3} \leq2$

iff $1/3+3 \leq 2\sqrt{3}$. อันไหนจริง.

ลองมาอีกกรณีหนึ่งที่รุนแรง: $a$ และ $b$ อยู่ภายใต้ $1$ และ $c$ อยู่ใกล้กับ $0$ จากนั้นเรายังสามารถมี $ab+ac+bc=1$. ที่นี่$(a+1)(b+1)(c+1)$ ก็จะอยู่ภายใต้ $4$ดังนั้นฉันเชื่อว่าอสมการนั้นถูกต้อง ฉันสามารถแสดงให้เห็นว่าเราต้องการ$abc+a+b+c \leq{2}$แต่ไม่รู้จะทำอย่างไรในตอนนี้ ฉันจะคิดเกี่ยวกับ แต่เรายังไม่ได้ใช้อสมการสามเหลี่ยมเลยสงสัยว่าจำเป็น

ไม่สามารถจบได้คือการฆ่าฉัน :)

Answer 4

เราจำเป็นต้องพิสูจน์ $$abc+a+b+c\leq2$$ หรือ $$(abc+(a+b+c)(ab+ac+bc))^2\leq4(ab+ac+bc)^3$$ หรือ $$\prod_{cyc}(a(b+c-a)+bc)\geq0$$ และเราทำเสร็จแล้ว!

เราสามารถหาแฟคตอริ่งสุดท้ายได้ด้วยวิธีต่อไปนี้

สำหรับ $ab+ac+bc=a^2$ เราได้รับ: $$(abc+(a+b+c)(ab+ac+bc))^2=(abc+(a+b+c)a^2)^2=a^2(a^2+ab+ac+bc)^2=$$ $$=(ab+ac+bc)(2(ab+ac+bc))^2=4(ab+ac+bc)^3$$ และเนื่องจากเราทำงานกับพหุนามสมมาตรเราจึงได้ตัวประกอบที่จำเป็น