จำนวนส่วนขยายกำลังสองที่ไม่มีการกำหนดขอบเขตของฟิลด์ตัวเลข

Question

มีสูตรทั่วไปสำหรับจำนวนส่วนขยายกำลังสองที่ไม่มีการระบุของฟิลด์ตัวเลขหรือไม่ $K$เหรอ?

เมื่อไหร่ $K$ เป็นกำลังสองสิ่งนี้เป็นที่รู้กันว่า (ตามทฤษฎีสกุล) เป็น $2^{\omega(\Delta_K)-1}$, ที่ไหน $\omega(n)$ หมายถึงจำนวนของปัจจัยเฉพาะที่แตกต่างกันของ $n$ และ $\Delta_K$ เป็นผู้เลือกปฏิบัติ $K$. ฉันสนใจผลการค้นหาเมื่อใด$K$ อยู่ในระดับที่สูงขึ้น

ดูเหมือนว่าปัญหานี้อาจจะยากกว่ามากและอาจใกล้เคียงกับการทำความเข้าใจการบิดสองระดับของกลุ่มคลาส $\text{Cl}_K$(ซึ่งดูยากเมื่อ$K$ไม่ใช่กำลังสอง) แต่ฉันค่อนข้างใหม่สำหรับพื้นที่และอาจจะไม่อยู่ในฐานโดยสิ้นเชิง มีความหวังว่าจะได้แนวทางที่ตรงกว่านี้หรือไม่?

Answer 1

คำตอบดูเหมือนจะไม่ใช่

1. จำนวนส่วนขยายกำลังสองที่ไม่มีการระบุของ $K$ เท่ากับจำนวนดัชนี - สองกลุ่มย่อยของกลุ่มคลาสในอุดมคติ $\text{Cl}_K$ ตามทฤษฎีสนามชั้นเรียน
2. ดัชนีสองกลุ่มย่อยของ $\text{Cl}_K$ สอดคล้องกับองค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์ของ $\text{Hom}(\text{Cl}_K, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$.
3. $\#\text{Hom}(\text{Cl}_K, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) = \#\text{Cl}_K[2]$ โดย Pontryagin duality ตามที่ @RP_ และ @abx ชี้ให้ฉันเห็นในความคิดเห็น
4. ปัญหาของการคำนวณ (หรือแม้แต่ขอบเขต) ขนาดของ $\#\text{Cl}_K[2]$ เมื่อไหร่ $K$ไม่ใช่ส่วนขยายกำลังสองดูเหมือนจะอยู่ในระหว่างการศึกษาและดูเหมือนจะเป็นปัญหาที่ท้าทายโดยทั่วไป