จำนวนเต็มมากที่สุดน้อยกว่าหรือเท่ากับ $\sum_{n=1}^{9999}\frac{1}{n^{1/4}}$

Question

นี่คือคำถามเข้าเรียนระดับปริญญาเอกของ TIFR 2020 คำถามนี้ต้องการคำตอบที่ชัดเจน ฉันรู้ว่าผลรวมบางส่วนได้รับการประเมินโดยใช้สูตรของ Abel ในทฤษฎีจำนวน แต่ฉันเชื่อว่าอาจมีวิธีที่ดีกว่าสำหรับอนุกรมของแบบฟอร์มนี้ ใครสามารถแบ่งปันความคิดของพวกเขา?

Answer 1

เปรียบเทียบผลรวมกับปริพันธ์ที่แน่นอนที่เหมาะสม:

$\sum_{n=1}^{9999}\frac{1}{n^{1/4}}>\int_1^{10000}\frac{dx}{x^{1/4}}=\frac{4}{3}x^{3/4}|_1^{10000}=\frac{4}{3}\cdot 999=1332$

นอกจากนี้:

$\sum_{n=1}^{9999}\frac{1}{n^{1/4}}<\sum_{n=1}^{10000}\frac{1}{n^{1/4}}=1+\sum_{n=2}^{10000}\frac{1}{n^{1/4}}<1+\int_1^{10000}\frac{dx}{x^{1/4}}=1+\frac{4}{3}x^{3/4}|_1^{10000}=1+\frac{4}{3}\cdot 999=1333$

ผลรวมอยู่ระหว่าง $1332$ และ $1333$ ดังนั้นส่วนสำคัญของมันคือ $1332$.

Answer 2

คำแนะนำ:พิจารณาฟังก์ชัน$f(x):=\frac43\cdot x^{\frac34}$ และใช้ทฤษฎีค่าเฉลี่ยเพื่อสรุปสิ่งนั้น $$\frac{1}{\sqrt[4]{r+1}}=f'(r+1)<\frac{f(r+1)-f(r)}{r+1-r}<f'(r)=\frac1{\sqrt[4]{r}}\iff\fbox{$\ displaystyle \ frac {1} {\ sqrt [4] {r + 1}} <f (r + 1) -f (r) <\ frac1 {\ sqrt [4] {r}}$}$$ ตอนนี้คุณสามารถสรุปและใช้ความจริงที่ว่าเกือบทุกอย่างจะใช้กล้องโทรทรรศน์

Answer 3

นี่เป็นอีกวิธีหนึ่งในการพิจารณาคำตอบของ Bishops ที่เหม็น นี่คือคำตอบที่เป็นอนุพันธ์และเหมือนกับ Stinking Bishop's ฉันแค่เหล่และมองจากมุมอื่น

$c_1=\frac 1{(n+1)^{\frac 14}} \le \frac 1{x^{\frac 14}} \le \frac 1{n^{\frac 14}}=c_2$

$c_1 \le \inf_{x\in [n,n+1]}\frac 1{x^{\frac 14}} \le \sup_{x\in [n,n+1]}\frac 1{x^{\frac 14}} \le c_2$

$\int_{n}^{n+1} c_1dx \le \int_{n}^{n+1}\frac 1{x^{\frac 14}}dx \le \int_n^{n+1} c_2 dx$

ตอนนี้ $\int_a^b C dx = C[b-a]$ ดังนั้น $\int_{n}^{n+1} c_1dx=c_1= \frac 1{(n+1)^{\frac 14}}$ และ $\int_n^{n+1} c_2 dx=\frac 1{n^{\frac 14}}$ ดังนั้น

$\frac 1{(n+1)^{\frac 14}}= \int_{n}^{n+1}\frac 1{x^{\frac 14}}dx \le \frac 1{n^{\frac 14}}$

$\sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{(n+1)^{\frac 14}}\le \sum\limits_{n=1}^{9999} \int_{n}^{n+1}\frac 1{x^{\frac 14}}dx=\int_1^{10000}\frac 1{x^{\frac 14}} dx\le \sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}$

เท่าที่สังเกต $\int_1^{10000}\frac 1{x^{\frac 14}} dx= 1332$

แต่ยังทราบ

$\sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{(n+1)^{\frac 14}}$ อาจจัดทำดัชนีใหม่เป็น $\sum\limits_{n=2}^{10000}\frac 1{n^{\frac 14}}$ ซึ่งเท่ากับ $\sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}} + \frac 1{10000^{\frac 14}} - \frac 1{1^{\frac 14}}= \sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}- 0.9$.

ดังนั้นเราจึงมี

$\sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}- 0.9\le 1332 \le \sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}$

และตรวจสอบได้ง่ายว่าถ้า $M - 1< M-0.9 \le n \le M$ แล้ว $M< n+1 \le M+1$ และอื่น ๆ $n\le M< n+1$ ดังนั้น $\lfloor M\rfloor=n$.

ดังนั้น $\lfloor \sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}\rfloor =1332$.