ใช้กฎของไลบ์นิซเพื่อแยกความแตกต่างภายใต้เครื่องหมายอินทิกรัลสำหรับปริพันธ์ของเส้น

Question

มีการอ้างอิงที่พิสูจน์ความถูกต้องของการแยกความแตกต่างภายใต้บรรทัดอินทิกรัลเพื่อพิสูจน์สูตรอินทิกรัลของ Cauchy

$$f’(w)=\frac{1}{2\pi i}\int_C \frac d{dw}\frac{f(u)}{u-w}du$$

Answer 1

คุณสามารถใช้ทฤษฎีบท 2.27 จากข้อความการวิเคราะห์จริงของ Folland ทฤษฎีบทฉบับย่อสำหรับจำนวนเชิงซ้อนจะบอกว่าถ้า$C,D$ มีขนาดกะทัดรัด $h(z,w):C\times D\to \mathbb{C}$ คือการวิเคราะห์สำหรับทุกคน $w$, $\partial h/\partial w (z,w)$ มีความต่อเนื่องในทั้งสองอาร์กิวเมนต์จากนั้นสำหรับทั้งหมด $w\in D$ เป็นไปตามนั้น $$\frac{\partial}{\partial w} \int_C h(z,w) dz=\int_C\frac{\partial}{\partial w}h(z,w)dz$$

โดยพื้นฐานแล้วว่าทำไมถึงได้ผลเพราะ $$\frac{\int_C h(z,w)dz-\int_C h(z,w_0)}{w-w_0}=\int_C\frac{h(z,w)-h(z,w_0)}{w-w_0}dz$$Folland ใช้ Dominated Convergence Theorem เพื่อรับประกันผลงานข้างต้น ในกรณีของเราเป็น$C\times D$ มีขนาดกะทัดรัดโดยทฤษฎีบทของ Tychonoff และ $\partial h/\partial w (z,w)$ เปิดต่อเนื่อง $C\times D$แล้ว $|\partial h/\partial w (z,w)|$ ล้อมรอบด้วยค่าคงที่พูด $M$. ตั้งแต่$C$ มีมาตรการ จำกัด (กะทัดรัด) เป็นไปตามนั้น $M\in L^1(C)$ ดังนั้นเราจึงมีอิสระที่จะใช้ Dominated Converges เพื่อแสดงความแตกต่างภายใต้เครื่องหมายอินทิกรัล

ในกรณีของคุณ $C$เป็นวงกลมซึ่งมีขนาดกะทัดรัด ตอนนี้สำหรับ$f(u)/(u-w)$คุณอาจบอกว่าสิ่งนี้ไม่ได้กำหนดไว้ในชุดขนาดกะทัดรัด แต่ถ้าเรา จำกัด ค่าของ $w$ ไปยังดิสก์ปิดขนาดเล็กและค่าของ $u$ ไปที่วงกลมจากนั้นฟังก์ชันของเราจะถูกกำหนดบนโดเมนของแบบฟอร์ม $C\times D$ ที่ไหน $C,D$ มีขนาดกะทัดรัด

Answer 2

คุณสามารถค้นหาข้อพิสูจน์อย่างรอบคอบได้ที่นี่

นี่เป็นอีกวิธีหนึ่ง: โดยใช้ข้อเท็จจริงง่ายๆเกี่ยวกับอนุกรมกำลังเรามีการแก้ไขจำนวนเต็ม $n,$ และการเขียน $f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k(z-w)^k$ ข้างใน $C,$ เรามี

$f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k (z-w)^{k-n-1}(z-w)^{n+1}\Rightarrow \frac{f(z)}{(z-w)^{n+1}}=\sum_{k=0}^\infty a_k (z-w)^{k-n-1}.$

ก็เป็นไปตามนั้น $\displaystyle \int_C\frac{f(z)}{(z-w)^{n+1}}dz=2\pi i a_k.\ $ แต่ $a_k=\frac{f^{(k)}(w)}{k!}.\ $ ผลลัพธ์เป็นดังนี้