ฟังก์ชันที่แตกต่างได้สองเท่าที่เป็นไปตามสมการเชิงอนุพันธ์

Aug 18 2020

คำถามคือ :

ปล่อย $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ เป็นฟังก์ชันที่แตกต่างกันสองเท่าที่น่าพอใจ

$f(x)+f''(x)=-xg(x)f'(x), x\in \mathbb{R} $ ที่ไหน $g(x) \ge 0, \forall x\in \mathbb{R}$

ข้อใดต่อไปนี้เป็นจริง

$(1)$ ถ้า $f(0)=f'(0)=1$ แล้ว $f(3)\lt 3$

$(2)$ ถ้า $f(0)=f'(0)=2$ แล้ว $f(4)\lt 4$

$(3)$ ถ้า $f(0)=f'(0)=3$ แล้ว $f(3)=5$

$(4)$ ถ้า $f(0)=f'(0)=3$ แล้ว $f(3)=6$

ความคิดของฉัน:-

ก่อนอื่นฉันจะพูดคุยเกี่ยวกับ $(3)$ และ $(4)$

ปล่อย $g(x)=0$

จากนั้นด้วยการคำนวณบางอย่างเราสามารถแสดงได้

$f(x)=3(\sin x+\cos x)$ เป็นผู้สมัครที่เหมาะสมที่จะทิ้ง $(3)$ และ $(4)$

ที่นี่สำหรับตัวเลือก $(3)$

$f(3)=5$

$\Rightarrow \sin 3+\cos 3=\frac 53$

กำลังสองทั้งสองด้าน

$1+\sin 6=\frac{25}9$

$\sin 6=\frac {16}9 \gt 1$ความขัดแย้ง

ในทำนองเดียวกัน $f(3)= 6$ จะให้ความขัดแย้ง

$\sin 3+\cos 3=2$ (หมายถึง $\sin 3=\cos 3=1$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้)

ดังนั้นเราจึงเหลือ $(1)$ และ $(2)$

หมายเหตุ: ตัวอย่างด้านบนที่แตกต่างกันเล็กน้อยตรงตามเงื่อนไขใน $(1)$ และ $(2)$

ฉันลองใช้ตัวอย่างง่ายๆเช่น $g(x)=1 $ และ $f(x)=x$ หรือเหมือนกำลังสอง แต่ไม่สามารถหาข้อสรุปได้

ช่วยแนะนำด้วยครับ $(1)$ และ $(2)$. ขอบคุณที่สละเวลา.

คำตอบ

1 LutzLehmann Aug 19 2020 at 14:31

พิจารณาฟังก์ชันพลังงาน $E=f(x)^2+f'(x)^2$. แล้ว$$ \frac{d}{dx}E=2f'(x)(f''(x)+f(x))=-2xg(x)f'(x)^2 $$ ดังนั้น $E$กำลังลดลงพร้อมแนวทางแก้ไข เท่าที่ฉันเห็นโดยนัยนี้ว่า 1) และ 2) เป็นจริง

ใน 1) $f(x)\le\sqrt{E(x)}\le\sqrt{E(0)}=\sqrt2<3$ และในทำนองเดียวกันใน 2) $f(x)\le\sqrt8<4$. เช่นเดียวกับที่คุณได้รับในข้อ 3) และ 4)$f(x)\le\sqrt{18}<5$เพื่อให้ไม่สามารถเข้าถึงค่าที่กำหนดได้