แหวนกึ่งหลัก: ขอบเขตที่คมที่สุดสำหรับความยาวโซ่ของอุดมคติหลัก
แหวนที่มีความสามัคคี $A$ เรียกว่า semiprimary ถ้า $\mathfrak r:=\mathrm{Jac}(A)$ ไม่มีจุดเด่นและ ${A}/{\mathfrak r}$คือกึ่งง่าย (Artinian) ฉันกำลังพยายามหาข้อพิสูจน์ (หรือตัวอย่างตัวอย่าง) สำหรับ:
เมื่อไหร่ $A$ คือกึ่งหลักและ $\mathfrak r^n=(0)$ ในขณะที่ ${A}/{\mathfrak r}$ มีความยาว $l$ เป็น $A$- โมดูลแล้วทุกลำดับของอุดมคติหลักซ้าย (หรือขวา) ใน $A$ มีมากที่สุด $ln$ การรวมที่เหมาะสม
ฉันสะดุดกับสิ่งนี้ในขณะที่ศึกษาลักษณะของแหวนกึ่งหลัก (และตระกูลอื่น ๆ ) ฉันพบข้อความดังกล่าวในกระดาษ [ 1 (Björk)มาตรา 0] แต่Björkอ้างว่าไม่มีการพิสูจน์ สำหรับการสับเปลี่ยน$A$มันเป็นความจริงอย่างแน่นอน (ดูหลักฐานด้านล่าง) แต่ฉันไม่สามารถระงับกรณีที่ไม่เกี่ยวข้องได้ ถ้าเป็นจริงมันจะมีไว้สำหรับแหวน Artinian ด้านเดียวโดยเฉพาะ - มันอาจจะง่ายกว่าในการจัดการก่อน แต่ฉันไม่แน่ใจว่าสิ่งนี้จะทำให้ปัญหาง่ายขึ้นจริงหรือไม่
เรายินดีที่จะได้รับความช่วยเหลือในการพิสูจน์ขอบเขตอันแหลมคมหรือแนวคิดใด ๆ สำหรับตัวอย่างการตอบโต้
แก้ไข: Jeremy แก้ไขได้โดยให้ตัวอย่างการตอบโต้ที่ดีในคำตอบด้านล่าง เป็นคำถามติดตามผล: มีใครรู้ขอบเขตทั่วไปที่คมชัดที่สุด$b(l,n)$ในกรณีที่ไม่ซับซ้อน? สิ้นสุดการแก้ไข
มีเวอร์ชันเชิงคุณภาพที่อ่อนแอกว่า:
วงแหวนเป็นกึ่งหลักก็ต่อเมื่อมีขอบเขตบนสำหรับความยาวของโซ่ที่เหมาะสมของอุดมคติหลักซ้าย (หรือขวา)
จนถึงตอนนี้ฉันพบที่อื่นเพียงแห่งเดียวที่มีการพูดถึงเรื่องนี้ในวรรณกรรม: [ 2 (หนังสือของโรเวน) , ทฤษฎีบท 2.7.7] Rowen แสดงหลักฐาน (ดูภาพร่างด้านล่าง) ของการกำหนดลักษณะเชิงคุณภาพโดยมีขอบเขตทั่วไปที่อ่อนแอกว่า$l^{n+1}-1$ (เมื่อไหร่ $l>1$). ฉันคิดว่าหนึ่งสามารถรับได้จริง$l+l^2+\ldots+l^n$ จากการพิสูจน์ของเขา แต่นั่นก็ยังห่างไกลจากขอบเขตของBjörk
Btw เราสามารถสรุปผลทั่วไปได้เป็นข้อพิสูจน์:
สำหรับพล $A$- โมดูลกลุ่มย่อยใด ๆ ทั้งหมดที่มีมากที่สุด $r$ เครื่องกำเนิดไฟฟ้ามีมากที่สุด $b(lr,n)$ การรวมที่เหมาะสม
ร่างของการพิสูจน์: โซ่ที่เหมาะสมดังกล่าวสามารถยกไปยังโซ่ที่เหมาะสมได้ $r$โมดูลย่อยที่สร้างขึ้นของโมดูลด้านซ้าย (หรือขวา) $A^r$ และสิ่งนี้สอดคล้องกับโซ่ที่เหมาะสมของอุดมคติหลักด้านซ้าย (หรือขวา) ของวงแหวนเมทริกซ์ $C:=M_r(A)$. ตอนนี้$C$ ยังเป็นกึ่งหลักด้วย $(\mathrm{Jac}(C))^n=(0)$ ในขณะที่ ${C}/{\mathrm{Jac}(C)}$ มีความยาว $lr$ เกิน $C$เราก็ทำโดย $r=1$ กรณี.
กลับมาที่คำกล่าวอ้างของBjörkเกี่ยวกับอุดมคติหลักนี่คือสิ่งที่ฉันประสบความสำเร็จ / พยายามจนถึงตอนนี้:
หลักฐานสำหรับกรณี $n=1$ และ $l=1$ตามลำดับ
$n=1$ เป็นเรื่องเล็กน้อย $l=1$ หมายถึง $(A,\mathfrak r)$ เป็นของท้องถิ่นดังนั้นถ้า $\mathfrak a_0\subsetneq\ldots\subsetneq\mathfrak a_m$ เป็นห่วงโซ่ที่เหมาะสมของอุดมคติหลักซ้ายใน $A$แล้ว $\mathfrak a_{m-1}\subseteq\mathfrak r$ดังนั้น $\mathfrak a_{m-1}$ เป็น ${A}/{\mathfrak r^{n-1}}$- โมดูลที่มีห่วงโซ่ความยาววงจรย่อยที่เหมาะสม $m-1$. สิ่งนี้ยกไปสู่ห่วงโซ่ที่เหมาะสมของอุดมคติหลักซ้ายใน${A}/{\mathfrak r^{n-1}}$ ความยาว $m-1$. ใช้การเหนี่ยวนำ$m-1\leq n-1$ดังนั้น $m\leq n$.
หลักฐานสำหรับกรณีสับเปลี่ยน
ถ้า $A$ เป็นสับเปลี่ยนแล้ว $A\simeq A_1\times\ldots\times A_l$ กับแหวนท้องถิ่น $(A_i,\mathfrak m_i)$ ด้วย $\mathfrak m_i^n=(0)$ (เลขชี้กำลังที่เล็กที่สุดอาจเป็นได้ $n_i\leq n$ สำหรับไฟล์ $\mathfrak m_i$) และห่วงโซ่ของอุดมคติหลักใน $A$ ให้โซ่ที่สอดคล้องกันของอุดมคติหลักในแต่ละ $A_i$ (คูณด้วย $i$-th idempotent $e_i$). โซ่ใน$A_i$ มีมากที่สุด $n$ (แม้ $n_i$) การรวมที่เหมาะสมแต่ละรายการโดย $l=1$กรณี. ดังนั้นโซ่เดิมใน$A$ สามารถมีได้มากที่สุด $ln$ (แม้ $n_1+\ldots+n_l$) การรวมที่เหมาะสม
สิ่งที่ฉันได้ลองในกรณีที่ไม่ใช่เชิงคำนวณ
ความสัมพันธ์กับแหวนที่สมบูรณ์แบบ
ถ้า $\mathfrak r$ ไม่มีจุดเด่นโดยเฉพาะอย่างยิ่ง $T$- ไม่มีจุดเด่น (ทั้งสองด้าน) ดังนั้นวงแหวนกึ่งหลักทุกวงจึงอยู่ทางซ้าย (และขวา) ที่สมบูรณ์แบบ วงแหวนเหล่านี้มี DCC อยู่ทางขวา (ซ้าย) อุดมคติหลัก (converse ถือเช่นกัน) มีข้อพิสูจน์ที่ "สร้างสรรค์โดยตรง" สำหรับนัยนี้หรือไม่? ในกรณีนี้อาจมีข้อโต้แย้งที่เป็นประโยชน์สำหรับปัญหาข้างต้น แต่ฉันรู้เพียงการพิสูจน์ "ทางอ้อม" เท่านั้น
แนวทางแรก - ปรับเปลี่ยนจากกรณีสับเปลี่ยน
ฉันพยายามเหนี่ยวนำ $l$. สำหรับ$l=1$ดูด้านบน. ตอนนี้ให้$l>1$. เช่น$A$ เป็นกึ่งสมบูรณ์เราสามารถเขียนได้ $A=Ae_1\oplus\ldots\oplus Ae_l$ ด้วยมุมฉากที่เป็นคู่กัน $e_i$ ด้วย $e_1+\ldots+e_l=1$. ถ้า$\mathfrak a_0\subseteq\ldots\subseteq\mathfrak a_m$ เป็นห่วงโซ่ของอุดมคติหลักซ้าย $\mathfrak a_j=Aa_j$ ใน $A$จากนั้นสำหรับทุกๆ $i$เราได้รับโซ่ $(Aa_je_i)_j$ ของโมดูลย่อยรอบของ $Ae_i$. ตอนนี้ 2 ขั้นตอนต่อไปนี้ใช้ไม่ได้ :
- $M_i:=Ae_i$ เป็น (รอบ) $A$- โมดูลและ ${M_i}/{\mathfrak rM_i}$ มีความยาว $l_i=1$. ฉันต้องการอนุมาน (เช่นโดยข้อความที่แรงกว่า ($\star$) ด้านล่าง) ว่าโซ่ $(Aa_je_i)_j$ ของโมดูลย่อยแบบวงจรมีมากที่สุด $nl_i=n$ การรวมที่เหมาะสม
- ถ้าโซ่เดิมของเรามีอย $ln+1$ การรวมและถ้า 1. เป็นจริงมีอย่างน้อยหนึ่งอย่าง $j$ ด้วย $\mathfrak a_je_i=\mathfrak a_{j+1}e_i$ เพื่อทุกสิ่ง $i$. แล้ว$$ \mathfrak a_{j+1}\subseteq\mathfrak a_{j+1}e_1+\ldots+\mathfrak a_{j+1}e_r=\mathfrak a_je_1+\ldots+\mathfrak a_je_r, $$ และเราจะเสร็จสิ้นหากมีอยู่ใน $\mathfrak a_j$. แต่สิ่งนี้ไม่จำเป็นต้องเป็นจริงเสมอไป$\mathfrak a_j$เป็นเพียงอุดมคติด้านซ้าย
ผลลัพธ์ทั่วไปที่กล่าวถึงใน 1. คือ:
($\star$) ถ้า $M$ เป็นวัฏจักร $A$- โมดูลที่มี $\ell({M}/{\mathfrak rM})=1$ (หรือแม้กระทั่ง $=k$) จากนั้นทุกห่วงโซ่ของโมดูลย่อยแบบวงจรจะมีมากที่สุด $n$ (หรือ $kn$) การรวมที่เหมาะสม
ฉันไม่แน่ใจว่านี่เป็นเรื่องจริงหรือไม่ ในกรณีสับเปลี่ยนสามารถลดเป็น$A$ เป็นคนในท้องถิ่นดังนั้น $l=1$. แล้ว$k=1$ และโซ่สามารถยกขึ้นได้ $A$ซึ่งจะช่วยลดกรณี $l=1$ ตั้งแต่แรก.
แนวทางที่สอง - โมดูโลลด $\mathrm{Jac}(A)$
เราสามารถลดโมดูโล $\mathfrak r$เช่นผ่านไปยัง ${A}/{\mathfrak r}$คือดูที่ $\mathfrak a_j+\mathfrak r$. มีมากที่สุด$n$การรวมที่เหมาะสมที่นั่น ถ้าบังเอิญ$$ \mathfrak r=\mathfrak a_0+\mathfrak r=\ldots=\mathfrak a_{m-l}+\mathfrak r\subsetneq\ldots\subsetneq\mathfrak a_m+\mathfrak r=A, $$ แล้ว $\mathfrak a_{m-l}$ จะมีอยู่ใน $\mathfrak r$ดังนั้นจึงเป็น ${A}/{\mathfrak r^{n-1}}$-โมดูล. โดยการยกโซ่ความยาว$m-l$ ถึง ${A}/{\mathfrak r^{n-1}}$ (เช่นเดียวกับในการพิสูจน์คดี $l=1$) เราจะได้รับ $m-l\leq (n-1)l$ โดยการเหนี่ยวนำและทำได้
อย่างไรก็ตามการกระจายของ $l$ การรวมที่เหมาะสมหลังจากลดเป็น ${A}/{\mathfrak r}$ได้ตามอำเภอใจ ฉันลองสิ่งต่างๆ แต่ไม่สามารถ "เชื่อมต่อ" การรวมหรือจัดการโซ่ (รักษาความยาวและความเหมาะสม) เพื่อเปลี่ยนการรวมรอบ ๆ อย่างไรก็ตามปัญหาคือโซ่อาจ "เอียง" กับโซ่ได้มาก$(0)=\mathfrak r^n\subseteq\ldots\subseteq\mathfrak r\subseteq A$.
คุณสามารถพยายามลดโมดูโล $\mathfrak r^{n-1}$ และใช้การเหนี่ยวนำ แต่ฉันประสบปัญหาที่คล้ายกันที่นั่น (ไม่มีการควบคุมว่าการรวมที่เหมาะสมเกิดขึ้นที่ใด)
เพื่อให้ทราบว่าจะดำเนินการอย่างไรฉันจึงพิจารณากรณีที่ง่ายที่สุดถัดไป $n=l=2$ และพยายามที่จะสรุปความขัดแย้งจากห่วงโซ่ที่เหมาะสม $(0)=\mathfrak a_0\subsetneq\ldots\subsetneq\mathfrak a_5=A$. แต่ถึงอย่างนั้นฉันก็ไม่สามารถชำระทุกกรณีของการกระจายการรวมที่เหมาะสมหลังจากลด mod$\mathfrak r$.
แนวทางที่สาม - ตัดปัจจัยทางด้านขวา
ทุก ("สูงสุด") ห่วงโซ่ที่เหมาะสมของอุดมคติหลักด้านซ้ายเป็นรูปแบบ $(0)=Aa_0\cdots a_{m-1}\subsetneq Aa_1\cdots a_{m-1}\subsetneq\ldots\subsetneq Aa_{m-1}\subsetneq A$. ทีนี้ถ้าเรามีโมดูโลเท่ากัน$\mathfrak r$ จาก $i$ ถึง $j>i$เช่น $$ Aa_i\cdots a_{m-1}+\mathfrak r=\ldots=Aa_j\cdots a_{m-1}+\mathfrak r, $$ ลองดูที่โซ่ $$ Aa_i\cdots a_{j-1}\subsetneq\ldots\subsetneq Aa_{j-1}\subsetneq A.\qquad (\star\star) $$นี้ยังคงเหมาะสม ถ้ามันนานพอมันจะให้ผลเท่ากันอีกครั้งหลังจากลดโมดูโล$\mathfrak r$. Rowen ใช้วิธีนี้ในการพิสูจน์ของเขา (ดังกล่าวข้างต้น) และเลือกขอบเขตที่ใหญ่พอหลังจากทำ$n$ ขั้นตอนการเรียกซ้ำเขาได้รับโซ่ $$ Aa_i\cdots a_{i+n}\subsetneq\ldots\subsetneq Aa_{i+n} $$ ด้วย $Aa_ja_{j+1}+\mathfrak r=Aa_{j+1}+\mathfrak r$ สำหรับ $i\leq j<i+n$. จากนั้นโดยการโต้แย้งอีกครั้ง$Aa_{i+1}\cdots a_{i+n}\subseteq\mathfrak r^n+Aa_i\cdots a_{i+n}=Aa_i\cdots a_{i+n}$ความขัดแย้ง
อย่างไรก็ตามตามที่กล่าวไว้ข้างต้นสิ่งนี้ใช้ได้กับขอบเขตที่ใหญ่มากเท่านั้น ฉันไม่รู้ว่าบางส่วนของข้อโต้แย้งอาจช่วยในการพิสูจน์ความผูกพันของBjörkได้หรือไม่ ฉันมีความรู้สึกว่าอาร์กิวเมนต์การเปลี่ยนแปลงบางอย่างเช่น ($\star\star$) ควรใช้และอาจสำคัญด้วยซ้ำ
กรณีพิเศษ
อาจเป็นประโยชน์ในการจัดการกับกรณีพิเศษเพื่อรับแนวคิดในการพิสูจน์หรือแม้แต่คำใบ้สำหรับตัวอย่างการตอบโต้
ผลิตภัณฑ์แหวน
ถ้า $A\simeq A_1\times\ldots\times A_r$ง่ายต่อการลด $A$ ทั้งหมด $A_i$โดยการใช้การพิสูจน์กรณีสับเปลี่ยน อย่างไรก็ตามโดยทั่วไปแล้ว$A$ ไม่จำเป็นต้องมีการสลายตัวของผลิตภัณฑ์เลย - โดยเฉพาะการสลายตัวของ Artin-Wedderburn $A/{\mathfrak r}\simeq M_{l_1}(K_1)\times\ldots\times M_{l_r}(K_r)$ ไม่จำเป็นต้องยกไป $A$. เช่น$A=\begin{pmatrix} \mathbb{Q} & \mathbb{Q}^{(\mathbb{N})} \\ 0 & \mathbb{Q} \end{pmatrix}$ เป็นแหวนกึ่งหลักที่ไม่ใช่แบบ Artinian ซึ่งไม่ใช่แหวนผลิตภัณฑ์ (ไม่มีคู่ของ idempotents กลางมุมฉากที่ไม่สำคัญ)
กรณีการลดอย่างง่าย - วงแหวนเมทริกซ์เหนือวงแหวนกึ่งหลักในพื้นที่
ถ้า $A/{\mathfrak r}\simeq M_l(K)$แล้ว $A\simeq M_l(D)$ สำหรับแหวนในท้องถิ่น $(D,\mathfrak m)$ ด้วย ${D}/{\mathfrak m}\simeq K$ (ดู [2 (Rowen), ข้อเสนอ 2.7.21]) และโซ่ (เหมาะสม) ของอุดมคติหลักที่เหมาะสมใน $A$ สอดคล้องกับโซ่ (เหมาะสม) ของ $D$-submodules ของ $D^r$ มากที่สุด $r$เครื่องปั่นไฟแต่ละเครื่อง นอกเหนือจากนั้นฉันไม่ได้รับอะไรเพิ่มเติมในกรณีพิเศษนี้เช่นกัน
การอ้างอิง:
[1] Björk: "เงื่อนไขห่วงโซ่ Noetherian และ Artinian ของแหวนที่เชื่อมโยงกัน" โค้ง. คณิตศาสตร์. 24 (2516), 366–378
ดอย: 10.1007 / bf01228225
[2] LH Rowen: "Ring Theory เล่ม 1" สำนักพิมพ์วิชาการซานดิเอโก (2531)
https://www.elsevier.com/books/ring-theory-v1/rowen/978-0-12-599841-3
คำตอบ
นี่คือตัวอย่างการตอบโต้ของช่างฝีมือ
ฉันจะอธิบายแหวน $A$ ชัดเจน แต่ในภาษาของการสั่นสะเทือนด้วยความสัมพันธ์ถ้า $Q$ คือตัวสั่นที่มีจุดยอดสองจุดวนที่จุดยอดแต่ละจุดและลูกศรจากจุดยอด $1$ ถึงจุดยอด $2$แล้ว $A$ คือพีชคณิตพา ธ ของ $Q$ ขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์ทำให้เส้นทางทั้งหมดของความยาวสองเท่ากับศูนย์
ปล่อย $A$ เป็นพีชคณิตบนฟิลด์ $k$ ด้วยพื้นฐาน $\{e_{1},e_{2},a,b,c\}$โดยผลิตภัณฑ์ทั้งหมดที่มีองค์ประกอบพื้นฐานสององค์ประกอบเท่ากับศูนย์ยกเว้น: $$e_{1}^{2}=e_{1},\quad e_{2}^{2}=e_{2},\quad e_{1}a=a=ae_{1},\quad e_{1}b=b=be_{2},\quad e_{2}c=c=ce_{2}.$$
แล้ว
- $A$ เป็นพีชคณิตเชื่อมโยงห้ามิติที่มีเอกภาพ $1=e_{1}+e_{2}$.
- จาค็อบสันหัวรุนแรง $\mathfrak{r}$ ถูกขยายโดย $\{a,b,c\}$และ $\mathfrak{r}^{2}=0$. ดังนั้นในสัญกรณ์ของคำถาม$n=2$.
- $A/\mathfrak{r}\cong k\times k$ดังนั้นในสัญกรณ์ของคำถาม $l=2$.
- ดังนั้น $ln=4$.
แต่มีห่วงโซ่ของอุดมคติหลักซ้ายที่ลดลงอย่างเหมาะสม $$A > A(a+e_{2}) > Ae_{2} > A(b+c) > Ac > 0$$ ด้วยฐาน $$\{e_{1},e_{2},a,b,c\}\supset\{e_{2},a,b,c\}\supset\{e_{2},b,c\} \supset\{b,c\}\supset\{c\}\supset\emptyset.$$