หากทุกฟังก์ชันที่มีมูลค่าจริงต่อเนื่องกำหนดไว้ $K$ มีขอบเขตแล้ว $K$ มีขนาดกะทัดรัด

Question

ฉันกำลังพยายามแก้คำถามต่อไปนี้จากส่วนการวิเคราะห์จริง :

1. ปล่อย $K$ เป็นชุดย่อยที่ไม่ว่างเปล่าของ $\mathbb R^n$ ที่ไหน $n > 1$. ข้อความใดต่อไปนี้ต้องเป็นจริง

(I) ถ้า $K$ มีขนาดกะทัดรัดจากนั้นทุกฟังก์ชันที่มีมูลค่าจริงอย่างต่อเนื่องที่กำหนดไว้ $K$ มีขอบเขต

(II) หากทุกฟังก์ชันที่มีมูลค่าจริงต่อเนื่องกำหนดไว้บน $K$ มีขอบเขตแล้ว $K$ มีขนาดกะทัดรัด

(III) ถ้า $K$ มีขนาดกะทัดรัดแล้ว $K$ เชื่อมต่ออยู่

หลักฐานสำหรับ (I) เป็นมาตรฐาน ฉันพยายามที่จะเห็น (II) ด้วยความขัดแย้ง

เป็นไปได้ไหมที่จะกำหนดกรอบหลักฐานสำหรับ (II) ตามบรรทัดเหล่านี้:

สมมติ $K \subseteq \mathbb R^n$ไม่กะทัดรัด จากนั้นมีฝาปิดเปิดอยู่$\mathcal C$ที่ไม่มี subcover จำกัด แต่$f: K \to \mathbb R$เป็นไปอย่างต่อเนื่อง (...) ความขัดแย้ง.

Answer 1

ชุดย่อยของ $\mathbb{R^n}$มีขนาดกะทัดรัดถ้าปิดและมีขอบเขตเท่านั้นนี่เป็นผลลัพธ์มาตรฐาน ตอนนี้สมมติว่าทุกฟังก์ชันที่มีค่าจริงอย่างต่อเนื่องที่กำหนดไว้$K$มีขอบเขต โดยเฉพาะฟังก์ชั่น$f(x)=||x||$ มีขอบเขต $K$ดังนั้น $K$ เป็นฉากกั้น

ดังนั้นเราต้องพิสูจน์เท่านั้น $K$ถูกปิด. สมมติว่าไม่ใช่ แล้วมีบางจุด$y\in\overline{K}\setminus K$. กำหนด$f:K\to\mathbb{R}$ โดย $f(x)=\frac{1}{||x-y||}$. นี่คือฟังก์ชั่นต่อเนื่องที่ไม่มีขอบเขตขัดแย้งกัน

Answer 2

ฉันแค่อยากจะเพิ่มว่าถ้าช่วงนั้นเป็นค่าจริงที่มาพร้อมกับเมตริกที่มีขอบเขต $d(x,y)=\frac{|x-y|}{1+|x-y|}$ดังนั้นคำสั่งจะไม่เป็นจริงสำหรับช่องว่างเมตริกแม้ว่าไฟล์ $Dom(f)$ พอใจกับคุณสมบัติ Heine-Borel