เหตุใดการผลักดันของมัดพลิกกลับบน BG ถึงรูปแบบหยาบจึงไม่สามารถกลับด้านได้
คำถามของฉันเกี่ยวข้องกับตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง ปล่อย$G = \mu_2$ เป็นกลุ่มวัฏจักรของคำสั่ง 2 $* := \text{Spec }\mathbb{C}$และปล่อยให้ $BG := [*/\mu_2]$ ผลหารสแต็กโดยที่ $\mu_2$ ทำหน้าที่เล็กน้อย $*$. ปล่อย$\mathcal{O}_{BG}$ แสดงโครงสร้างมัดและปล่อยให้ $L$ หมายถึงมัดที่พลิกกลับไม่ได้ $BG$ สอดคล้องกับการแสดงที่ไม่สำคัญของ $\mu_2$ บน $\mathbb{C}$. ด้วยประการฉะนี้$L(*\rightarrow BG) = \mathbb{C}$และการกระทำของ $\mu_2$ บน $*\rightarrow BG$ ทำให้เกิดการผกผันของ $\mu_2$ บน $\mathbb{C}$.
ปล่อย $c : BG\rightarrow *$แสดงว่าแผนที่บัญญัติเป็นรูปแบบคร่าวๆ ฉันเคยได้ยินมาว่าถ้า$L$ หมายถึงมัดพลิกกลับด้านบน $BG$ มอบให้โดยตัวแทนที่ไม่สำคัญของ $\mu_2$ บน $\mathbb{C}$แล้ว $c_*L$ ไม่สามารถกลับด้านได้ $*$. อย่างไรก็ตามตามคำจำกัดความ (ดูด้านล่าง) ดูเหมือนว่า$c_*L$ จะกลับด้านบน $*$. ฉันผิดพลาดตรงไหน?
ตามคำจำกัดความของ pushforward ฉันเชื่อว่าส่วนทั่วโลกของ $c_*\mathcal{O}_{BG}$ ควรจะเท่ากับขีด จำกัด
$$\lim\mathcal{O}_{BG}(*\rightarrow BG)$$ โดยที่ขีด จำกัด อยู่ในช่วงของสัณฐานทั้งหมด $f : *\rightarrow BG$ น่าพอใจ $c\circ f = \text{id}_*$. ตั้งแต่กลุ่ม automorphism ของ$*\rightarrow BG$ ทำหน้าที่เล็กน้อย $\mathcal{O}_{BG}$นี่เป็นเพียงขีด จำกัด ของแผนภาพสองวัตถุ $\mathbb{C}\stackrel{\text{id}}{\rightarrow}\mathbb{C}$ซึ่งเป็นเพียงเส้นทแยงมุมใน $\mathbb{C}\times\mathbb{C}$.
ในทำนองเดียวกันส่วนทั่วโลกของ $c_*L$ ควรเป็นขีด จำกัด ของแผนภาพวัตถุทั้งสอง $\mathbb{C}\stackrel{-1}{\rightarrow}\mathbb{C}$ซึ่งเป็นเพียงชุดของคู่ $\{(a,-a) : a\in\mathbb{C}\}$.
การกระทำของ $c_*\mathcal{O}_{BG}$ บน $c_*L$ ควรเป็นการดำเนินการคูณเชิงพิกัดของแผนภาพ $\mathbb{C}\stackrel{\text{id}}{\rightarrow}\mathbb{C}$ บนแผนภาพ $\mathbb{C}\stackrel{-1}{\rightarrow}\mathbb{C}$. กล่าวคือในส่วนทั่วโลกการดำเนินการ$$c_*\mathcal{O}_{BG}\times c_*L\longrightarrow c_*L$$ ควรให้โดย $((r,r),(a,-a)) \mapsto (ra,-ra)$. สิ่งนี้ดูเหมือนจะทำให้$c_*L$ เป็นฟ่อนที่กลับหัวได้ $*$แต่ฉันได้ยินมาว่าอันที่จริงแล้วไม่เป็นความจริง ฉันผิดพลาดตรงไหน?
คำตอบ
การผลักดัน $c_{\ast}L$ ควรเป็นขีด จำกัด ของแผนภาพที่มีวัตถุเดียว "$\mathbb{C}$"และสอง (อัตโนมัติ) morphisms"$\mathrm{id} : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$"และ"$-1 : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$"; กล่าวอีกนัยหนึ่งก็คืออีควอไลเซอร์ของ $\mathrm{id}$ และการคูณโดย - ($-1$); ดังนั้นในความเป็นจริง$c_{\ast}L = 0$.
คำแถลงทั่วไปคือ: ภายใต้การติดต่อระหว่างกึ่งสอดคล้องกัน $\mathcal{O}_{BG}$- โมดูลและ $G$-representations, functor แบบผลักไปข้างหน้า $c_{\ast}$ สอดคล้องกับ $G$functor -invariants
ถ้าเราเปลี่ยน $\mathbb{C}$ ด้วยเขตข้อมูลลักษณะ 2 เราจะต้องระวัง - โดยทั่วไปแล้วกึ่งสอดคล้องกัน $\mathcal{O}_{B(\mathbb{Z}/(2))}$- โมดูลคือ $\mathbb{Z}/(2)$- การนำเสนอและเสมือนสอดคล้องกัน $\mathcal{O}_{B\mu_{2}}$- โมดูลคือ $\mathbb{Z}/(2)$ช่องว่างเวกเตอร์ที่ได้รับการอัพเกรด (pushforward ตรงนี้สอดคล้องกับการรับปริญญา $0$ องค์ประกอบที่ให้คะแนน)