เหตุใดการกระทำของ control-Z จึงไม่เปลี่ยนแปลงโดยการแลกเปลี่ยน qubits ควบคุมเป้าหมาย
ในหนังสือ "Quantum Computer Science" เมื่ออธิบายรหัสแก้ไขข้อผิดพลาดจะใช้ภาพนี้และระบุว่า "การกระทำของ control-z ไม่เปลี่ยนแปลงโดยการแลกเปลี่ยนเป้าหมายและควบคุม qubits"
นี่หมายความว่าการกระทำของ cZ (ควบคุมแอนซิลลาคบิทและคิวบิทโคดิวด์เป้าหมาย) เท่ากับ cz (คิวบิตโคดิวด์ควบคุมและแอนซิลลา qubit เป้าหมาย) หรือไม่ ถ้าเป็นแบบนี้ทำไมถึงเป็นอย่างนั้น?
ในความเข้าใจของฉัน | 1> Z | 0> (qubit แรกคือ qubit ควบคุม) ไม่เท่ากับ Z | 0> | 1> (qubit ที่สองคือ qubit ควบคุม)
คำตอบ
หากเรามีสองสถานะ qubit โดยพลการ:
$$|\psi \rangle = a |00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle + d|11\rangle$$
จากนั้นหลังจากสมัคร $CZ_{1 \rightarrow 2}$ ควบคุมจาก qubit แรกที่เราจะได้รับ:
$$CZ_{1 \rightarrow 2}|\psi \rangle = a |00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle - d|11\rangle$$
เนื่องจากการควบคุมทำงานเมื่อ qubit ควบคุมอยู่ $|1\rangle$ และ $Z$ ประตูเปลี่ยนเครื่องหมายของแอมพลิจูดของ $|1\rangle$ รัฐดังนั้น $CZ_{1 \rightarrow 2}$ การกระทำกำลังเปลี่ยนสัญลักษณ์ของไฟล์ $|11\rangle$.
ตอนนี้การกระทำของ $CZ_{2 \rightarrow 1}$:
$$CZ_{2 \rightarrow 1}|\psi \rangle = a |00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle - d|11\rangle$$
เช่นเดียวกับที่นี่เฉพาะสัญลักษณ์ของ $|11\rangle$ควรเปลี่ยนเพราะเหตุผลที่คล้ายกัน สิ่งนี้สามารถมองเห็นได้โดยใช้เมทริกซ์:
$$CZ_{1 \rightarrow 2} = |0\rangle \langle 0| I + |1 \rangle \langle 1| Z = \\ = \begin{pmatrix} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&-1 \\ \end{pmatrix}=\\ =I |0\rangle \langle 0| + Z |1 \rangle \langle 1| = CZ_{2 \rightarrow 1} $$