เหตุใดการกระทำของ control-Z จึงไม่เปลี่ยนแปลงโดยการแลกเปลี่ยน qubits ควบคุมเป้าหมาย

Aug 15 2020

ในหนังสือ "Quantum Computer Science" เมื่ออธิบายรหัสแก้ไขข้อผิดพลาดจะใช้ภาพนี้และระบุว่า "การกระทำของ control-z ไม่เปลี่ยนแปลงโดยการแลกเปลี่ยนเป้าหมายและควบคุม qubits"

นี่หมายความว่าการกระทำของ cZ (ควบคุมแอนซิลลาคบิทและคิวบิทโคดิวด์เป้าหมาย) เท่ากับ cz (คิวบิตโคดิวด์ควบคุมและแอนซิลลา qubit เป้าหมาย) หรือไม่ ถ้าเป็นแบบนี้ทำไมถึงเป็นอย่างนั้น?

ในความเข้าใจของฉัน | 1> Z | 0> (qubit แรกคือ qubit ควบคุม) ไม่เท่ากับ Z | 0> | 1> (qubit ที่สองคือ qubit ควบคุม)

คำตอบ

4 DavitKhachatryan Aug 15 2020 at 22:13

หากเรามีสองสถานะ qubit โดยพลการ:

$$|\psi \rangle = a |00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle + d|11\rangle$$

จากนั้นหลังจากสมัคร $CZ_{1 \rightarrow 2}$ ควบคุมจาก qubit แรกที่เราจะได้รับ:

$$CZ_{1 \rightarrow 2}|\psi \rangle = a |00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle - d|11\rangle$$

เนื่องจากการควบคุมทำงานเมื่อ qubit ควบคุมอยู่ $|1\rangle$ และ $Z$ ประตูเปลี่ยนเครื่องหมายของแอมพลิจูดของ $|1\rangle$ รัฐดังนั้น $CZ_{1 \rightarrow 2}$ การกระทำกำลังเปลี่ยนสัญลักษณ์ของไฟล์ $|11\rangle$.

ตอนนี้การกระทำของ $CZ_{2 \rightarrow 1}$:

$$CZ_{2 \rightarrow 1}|\psi \rangle = a |00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle - d|11\rangle$$

เช่นเดียวกับที่นี่เฉพาะสัญลักษณ์ของ $|11\rangle$ควรเปลี่ยนเพราะเหตุผลที่คล้ายกัน สิ่งนี้สามารถมองเห็นได้โดยใช้เมทริกซ์:

$$CZ_{1 \rightarrow 2} = |0\rangle \langle 0| I + |1 \rangle \langle 1| Z = \\ = \begin{pmatrix} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&-1 \\ \end{pmatrix}=\\ =I |0\rangle \langle 0| + Z |1 \rangle \langle 1| = CZ_{2 \rightarrow 1} $$