เหตุใด QED จึงเปลี่ยนสภาพได้
ความเข้าใจของฉันเกี่ยวกับความสามารถในการเปลี่ยนสภาพปกติคือทฤษฎีสามารถเปลี่ยนสภาพได้ใหม่หากความแตกต่างในแอมพลิจูดของมันสามารถยกเลิกได้ด้วยเงื่อนไขมากมาย ฉันเห็นว่าด้วยการเพิ่มตัวนับ (ในโครงการ MS-bar)
$$L_{ct}=-\frac{g^2}{12\pi^2}\left(\frac{2}{\epsilon}-\gamma+\ln4\pi\right),$$
ความแตกต่างของ QED แบบวงเดียวสามารถทำได้ จำกัด อย่างไรก็ตามฉันไม่เห็นว่าสิ่งนี้ทำให้ QED เปลี่ยนสภาพได้อย่างไร? แน่นอนว่าเมื่อเราทำงานกับไดอะแกรมที่มีลูปมากขึ้นเราจะได้รับ counterterms มากขึ้นเนื่องจากเราสามารถมีไดอะแกรมที่มีหลายลูปตามอำเภอใจเราไม่จำเป็นต้องมีตัวนับจำนวนอนันต์เพื่อยกเลิกสิ่งเหล่านี้หรือไม่?
คำตอบ
QED มีไดอะแกรมไดอะแกรมที่ไม่สามารถลดทอนได้จำนวน จำกัด เท่านั้น แนวคิดหลักของการแตกต่างของแผนภาพคือการนับกำลัง: คำว่าทุกแผนภาพแสดงถึงรูปแบบของเศษส่วน$$ \frac{\int\mathrm{d}^n p_1\dots\int\mathrm{d}^n p_m}{p_1^{i_1}\dots p_k^{i_k}}$$ และคุณสามารถคำนวณความแตกต่างระหว่างกำลังของโมเมนตัมในตัวเศษและตัวส่วนและเรียกมันว่า $D$. แผนภาพแบบฮิวริสติกแตกต่างกันเช่น$\Lambda^D$ ในระดับโมเมนตัม $\Lambda$ ถ้า $D > 0$, ชอบ $\ln(\Lambda)$ ถ้า $D=0$และมีข้อ จำกัด หาก $D < 0$. สิ่งนี้อาจล้มเหลว - แผนภาพสามารถแตกต่างกันสำหรับ$D < 0$ - หากประกอบด้วยแผนภาพย่อยที่แตกต่างกันที่เล็กกว่า
หากคุณหาโครงสร้างทั่วไปของ $D$สำหรับแผนภาพของ QED คุณควรจะสามารถโน้มน้าวตัวเองได้ว่า QED มีไดอะแกรมที่ไม่สามารถสร้างอนุภาคเดียวที่แตกต่างกันได้จำนวน จำกัด การยกเลิกไดอะแกรมที่ไม่สามารถวัดผลได้นั้นเพียงพอที่จะยกเลิกความแตกต่างซ้ำ ๆ ในไดอะแกรมลำดับที่สูงกว่าทั้งหมดที่มีการรวมกันโดยพลการของคำสั่งทั้งหมดเป็นคำสั่งที่ไม่สำคัญซึ่งบางครั้งเรียกว่าทฤษฎีบท BPHZ ซึ่งมีการอธิบายความหมายทางเทคนิค - แม้ว่าจะไม่ใช่ตามชื่อนี้ก็ตาม โดยบทความ Scholarpedia บน BPHZ renormalization
เราได้ตัวนับจำนวนอนันต์ แต่ทั้งหมดนั้นจะเป็นรูปแบบเดียวกัน (หรือในเซตปิด) เพียงแค่ว่าค่าสัมประสิทธิ์ที่อยู่หน้าคำจะถูกขยายในอนุกรมกำลังของค่าคงที่การมีเพศสัมพันธ์ ความหมายของ "infinite number of counterterm -> non-renormalizable" อย่างน้อยก็จากความเข้าใจของฉันก็เหมือนกับทฤษฎี phi ^ 5 เราจะต้องเพิ่มตัวนับจำนวนอนันต์เช่น phi ^ 6, phi ^ 7, phi ^ 8, ... เพื่อยกเลิกความแตกต่างและสิ่งนี้จะดำเนินต่อไปตลอดกาล สิ่งนี้แตกต่างจาก QED ที่เราต้องการตัวนับจำนวน จำกัด แต่สัมประสิทธิ์ที่อยู่ข้างหน้าจะถูกกำหนดโดยลำดับ