หมวดหมู่อินฟินิตี้คืออะไร?
ฉันสนใจว่าข้อมูลประเภทอินฟินิตี้เข้ารหัสข้อมูลอะไร ตัวอย่างเช่นพิจารณาประเภทอินฟินิตี้ของช่องว่าง ฉันชอบคิดว่าสิ่งนี้เป็นหมวดหมู่ homotopy ของช่องว่างที่มีโครงสร้างพิเศษบางอย่างมาจากแบบจำลองการตั้งค่าที่เรียบง่ายซึ่งช่วยให้เราสามารถคำนวณขีด จำกัด ของโฮโมโตปี้และอื่น ๆ ได้ คำถาม (ค่อนข้างคลุมเครือ) ของฉันคือ:
- โครงสร้างนี้มีลักษณะเฉพาะอย่างไร? กล่าวอีกนัยหนึ่งเมื่อระบุหมวดหมู่ homotopy มีหมวดหมู่อินฟินิตี้ที่เกี่ยวข้องหรือไม่
- ที่เกี่ยวข้องหมวดหมู่อินฟินิตี้เข้ารหัสข้อมูลใด ๆ ที่ไม่ใช่โฮโมโตปิคัล (โดยสิ่งนี้ฉันหมายถึงข้อมูลที่ไม่สามารถหาได้จากหมวดหมู่ homotopy) ในลักษณะ? ถ้าเป็นเช่นนั้นคืออะไร?
คำตอบ
ฉันคิดว่าการพิจารณาอะนาล็อกที่มีมิติต่ำกว่ามากของคำถามของคุณมีประโยชน์ซึ่ง (อย่างน้อยสำหรับฉัน) ง่ายกว่ามากในการหาเหตุผลโดยสังหรณ์ใจ แต่ก็ยังได้รับข้อความบางส่วน
ลองเปรียบเทียบดู $0$-categories (เช่นชุด) และ $1$-categories (เช่นหมวดหมู่) ตามสิ่งที่พวกเขาสามารถเข้ารหัสได้
- ก $0$-category เป็นเพียงคลาสของวัตถุ สองวัตถุของไฟล์$(0,1)$- หมวดหมู่จะเทียบเท่ากันอย่างแม่นยำหากมีค่าเท่ากัน (นี่คือไฟล์$0$- การตัดหมวดหมู่ของความเท่าเทียมกัน) และไม่มีอะไรสามารถพูดถึงวัตถุได้อีกต่อไป
- ก $1$- หมวดหมู่คือ $0$- หมวดหมู่ (อย่างอ่อน) อุดมไปด้วย $(0,0)$-categories (เช่นชุด) ซึ่งช่วยให้เรามีความละเอียดอ่อนมากขึ้นว่าวัตถุหนึ่งเกี่ยวข้องกับวัตถุอื่นอย่างไร โดยเฉพาะอย่างยิ่ง morphisms ช่วยให้เราสามารถอธิบายโครงสร้างของวัตถุและ$1$- ภาษาจัดหมวดหมู่จึงกล่าวถึงคุณสมบัติของวัตถุเกี่ยวกับโครงสร้างของมัน อย่างแม่นยำยิ่งขึ้นสองวัตถุของ$1$- หมวดหมู่จะเทียบเท่ากันอย่างแม่นยำหากเป็นไอโซมอร์ฟิก (กล่าวคือมีโครงสร้างเหมือนกัน) และ$1$- โครงสร้างตามหมวดหมู่ (เช่น co / LIMIT) ถูกกำหนดขึ้นตาม isomorphism
รับ $1$-ประเภท $\def\cC{\mathcal C}$ $\cC$เราสามารถกำหนดhomotopy ได้$0$-ประเภท $\def\Ho{\operatorname{Ho}}$ $\Ho\cC$ เป็น $0$- ประเภทที่มีวัตถุเป็นคลาส isomorphism ของวัตถุของ $\cC$. สิ่งนี้ทำหน้าที่เป็นการนำเสนอที่มีประสิทธิภาพของ$\cC$ กับ $0$- หมวดหมู่ในความหมายที่ว่าวัตถุของ $\cC$ isomorphic แม่นยำถ้าวัตถุที่เกี่ยวข้องใน $\Ho\cC$ มีค่าเท่ากัน
อย่างไรก็ตามเรายังสามารถเห็นได้ว่านี่เป็นเรื่องยากที่จะทำวิศวกรรมย้อนกลับแม้จะเป็นแบบบัญญัติและไม่เทียบเท่า $1$- หมวดหมู่สามารถมี homotopy เดียวกันได้ $0$-ประเภท. วิธีที่เร็วที่สุดในการดูสิ่งนี้คือสังเกตว่า a$0$-ประเภท $X$ สามารถคิดเป็นไฟล์ $1$- หมวดหมู่ที่มีเฉพาะรูปลักษณ์เฉพาะและในกรณีนี้ $\Ho X=X$; โดยเฉพาะอย่างยิ่งให้ใด ๆ$1$-ประเภท $\cC$homotopy ของมัน $0$-ประเภท $\Ho\cC$ ยังเป็นการนำเสนอไฟล์ $0$-ประเภท $X := \Ho\cC$ มองว่าเป็นไฟล์ $1$-category ซึ่งของ$\cC$ และ $X$ จะเป็นทางเลือกที่เหมาะสมกว่าสำหรับ "บัญญัติ $1$-category "ที่เกี่ยวข้องกับ $\Ho\cC$เหรอ?
ยิ่งไปกว่านั้นตามที่ความคิดเห็นกล่าวถึงมันแทบเป็นไปไม่ได้เลยที่จะแสดง $1$- โครงสร้างที่เป็นหมวดหมู่ใน homotopy $0$- หมวดหมู่: ไดอะแกรมเท่านั้น $F:J\to\Ho\cC$ที่มีขีด จำกัด คือไดอะแกรมคงที่ ในความเป็นจริงแม้ว่าเราจะคำนวณขีด จำกัด ของ functor$F:J\to\cC$ โดยที่วัตถุทั้งหมดในแผนภาพเป็นไอโซมอร์ฟิกซึ่งกันและกัน (นั่นคือแผนที่เหนี่ยวนำ $F:\operatorname{Ob}J\to\Ho\cC$ เป็นแผนที่คงที่) เพื่อให้ขีด จำกัด ใน homotopy $0$- มีหมวดหมู่อยู่ขีด จำกัด ใน $\Ho\cC$ ไม่จำเป็นต้องเกี่ยวข้องกับขีด จำกัด ใน $\cC$. ตัวอย่างเช่นผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียน$X\times X$ โดยทั่วไปจะไม่มีไอโซมอร์ฟิกถึง $X$แต่ขีด จำกัด ในแผนที่ที่เกี่ยวข้อง $\{\bullet\,\,\,\bullet\}\to\Ho\cC$ (ซึ่งเป็นแผนที่คงที่) จะเป็นคลาสของ isomorphism เสมอ $X$.
เรื่องราวจะคล้ายกันสำหรับ $(\infty,1)$- หมวดหมู่ เนื่องจากสามารถคิดได้ว่าเป็นหมวดหมู่ที่เสริมสร้างในช่องว่าง (หรือ$\infty$-groupoids) เราสามารถละเอียดอ่อนมากขึ้นเกี่ยวกับการเปรียบเทียบวัตถุ เช่นเดียวกับหมวดหมู่ที่เกี่ยวข้องกับโครงสร้างของวัตถุ$(\infty,1)$- หมวดหมู่เกี่ยวข้องกับโครงสร้างที่สอดคล้องกันของวัตถุ ตัวอย่างเช่น:
- พิจารณาช่องว่างโทโพโลยี $\Bbb R$, $(0,1)$และ $\{0\}$. หากเรามองไปที่พวกเขา$0$- จัดหมวดหมู่ (ใน $0$-ประเภท $\mathbf{Top}_0$ของโทโพโลยีสเปซ) จากนั้นก็แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิงเนื่องจากประกอบด้วยองค์ประกอบที่แตกต่างกัน หากเรามองไปที่พวกเขา$1$- จัดหมวดหมู่ (ใน $1$-ประเภท $\mathbf{Top}$ ของช่องว่างโทโพโลยีและแผนที่ต่อเนื่อง) จากนั้น $\Bbb R$ และ $(0,1)$ เหมือนกันเพราะมีโครงสร้างโทโพโลยีเหมือนกัน แต่แตกต่างจาก $\{0\}$เพราะไม่สามารถใส่ bijection ได้ สุดท้ายถ้าเรามองไปที่พวกเขา$(\infty,1)$- จัดหมวดหมู่แล้ววัตถุทั้งสามจะเหมือนกันเนื่องจากสามารถหดไปยังจุดหนึ่งได้
- ในทำนองเดียวกันให้พิจารณาหมวดหมู่ $\mathbf{FinSet}$ จำนวน จำกัด และหมวดหมู่ย่อยแบบเต็ม $\mathbf{FinOrd}$ในลำดับที่ จำกัด พวกมันไม่ใช่ไอโซมอร์ฟิกเป็นหมวดหมู่เนื่องจากในอดีตมีคลาสของอ็อบเจ็กต์ที่เหมาะสมในขณะที่อันหลังมีเซตจึงไม่สามารถใส่ไบเจคชั่นได้ อย่างไรก็ตามพวกเขาเทียบเท่ากับหมวดหมู่เนื่องจากเราสามารถทำสัญญากับวัตถุของ$\mathbf{FinSet}$ ร่วมกันโดย bijections ร่วมกัน (โดยความสำคัญของพวกเขา) และพบว่า $\mathbf{FinOrd}$เป็นโครงกระดูกของ$\mathbf{FinSet}$
เราสามารถเชื่อมโยงกับไฟล์ $(\infty,1)$-ประเภท $\def\sC{\mathscr C}$ $\sC$ หมวดหมู่ homotopy $\Ho\sC$โดยที่วัตถุของ $\Ho\sC$ isomorphic ได้อย่างแม่นยำหากเทียบเท่าใน $\sC$แต่เราพบปัญหาเดียวกันเมื่อพยายามทำวิศวกรรมย้อนกลับสิ่งนี้ เช่นเดียวกับก่อนหน้านี้หมวดหมู่$\cC$ สามารถคิดได้ว่าเป็นไฟล์ $(\infty,1)$- หมวดหมู่ที่เซลล์ที่สูงกว่าทั้งหมดเป็นเรื่องเล็กน้อยและในกรณีนี้ $\Ho\cC=\cC$ดังนั้นให้ $(\infty,1)$-ประเภท $\sC$หมวดหมู่ homotopy ยังเป็นการนำเสนอหมวดหมู่ $\cC := \Ho\sC$ มองว่าเป็นไฟล์ $(\infty,1)$-category
ยิ่งไปกว่านั้นขีด จำกัด การคำนวณใน $\Ho\sC$ จะไม่พูดอะไรเกี่ยวกับวิธีคำนวณขีด จำกัด ใน $\sC$. ตัวอย่างเช่นพิจารณาไฟล์$(2,1)$-ประเภท $\mathbf{Cat}$ ของหมวดหมู่ (ขนาดเล็ก) functors และ isomorphisms ตามธรรมชาติมองว่าเป็น $(\infty,1)$-ประเภท. จากนั้นหมวดหมู่ homotopy$\Ho\mathbf{Cat}$จริงล้มเหลวที่จะมี pullbacks ซึ่งจะแสดงที่นี่ ความแตกต่างระหว่างขีด จำกัด ของ homotopy โดยทั่วไปและขีด จำกัด ในประเภท homotopy ที่เกี่ยวข้องยังเน้นที่นี่ซึ่งพวกเขาเน้นว่าแม้ว่าขีด จำกัด ใน$\Ho\sC$ มีอยู่ไม่จำเป็นต้องสอดคล้องกับขีด จำกัด ใน $\sC$.
ในบางกรณีคุณสามารถนำเสนอไฟล์ $(\infty,1)$- หมวดหมู่ด้วย $1$- หมวดหมู่ที่มีโครงสร้างพิเศษเพื่อให้คุณสามารถใช้งานได้ $1$- หมวดหมู่ภาษาเพื่อหารือเกี่ยวกับโครงสร้างของไฟล์ $(\infty,1)$- จัดหมวดหมู่ไว้และคุณอาจสามารถกู้คืนไฟล์ $(\infty,1)$- หมวดหมู่ตามบัญญัติ ตัวอย่างเช่นถ้า$\sC$เป็นสิ่งที่แสดงได้ในท้องถิ่น$(\infty,1)$- หมวดหมู่จากนั้นคุณสามารถนำเสนอด้วยหมวดหมู่แบบจำลองที่เรียบง่ายแบบผสมผสาน$\cC$. จากนั้น จำกัด ใน$\sC$ สอดคล้องกับขีด จำกัด homotopy ใน $\cC$และยังมีหมวดหมู่ homotopy เหมือนกัน ยิ่งไปกว่านั้นคุณสามารถกู้คืนได้$\sC$โดย (ตัวอย่าง) การใช้เส้นประสาทที่เชื่อมโยงกันของhomotopyของประเภทย่อยที่เสริมสร้างอย่างง่ายของ$\cC$ บนวัตถุที่มีความเป็นเพื่อนรักกันดังนั้นในแง่นี้ก็มีวิธีที่เป็นที่ยอมรับในการถอยหลังเช่นกัน