Homomorphism ของ $k$-algebras ทำให้เกิด homomorphism ของสเปกตรัมสูงสุด

Aug 19 2020

สำหรับ $k$ ฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตเรากำหนด Affine $k$- พีชคณิตที่จะสร้างขึ้นอย่างประณีต $k$- พีชคณิตที่ลดลง (เช่น $\sqrt{(0)} = (0)$). สำหรับ Affinie$k$-พีชคณิต $A$เรากำหนด $\operatorname{specm} A$เป็นชุดของอุดมคติสูงสุด จากนั้นเรามีโจทย์ต่อไปนี้:

ถ้า $\alpha: A \rightarrow B$ เป็น homomorphism ของ Affine $k$-algebras แล้ว $\alpha$ ทำให้เกิดแผนที่ต่อเนื่องของช่องว่างโทโพโลยี $\phi: \operatorname{specm} B \rightarrow \operatorname{specm} A$ ที่สำหรับอุดมคติสูงสุด $m \subset B$,

$$ \phi(m) = \alpha^{-1}(m). $$

ฉันมีปัญหาในการทำความเข้าใจการพิสูจน์ครึ่งแรกซึ่งมีดังนี้:

หลักฐาน:

  1. สำหรับใด ๆ $h \in A$, $\alpha(h)$ กลับด้านใน $B_{\alpha(h)}$ (ซึ่งแสดงถึงการแปลเป็นภาษาท้องถิ่นของ $B$ ที่ $\alpha(h)$) ดังนั้น homomorphism $A \rightarrow B \rightarrow B_{\alpha(h)}$ ขยายไปสู่ ​​homomorphism $$ \frac{g}{h^m} \rightarrow \frac{\alpha(g)}{\alpha(h)^m}: A_h \rightarrow B_{\alpha(h)} $$

  2. เพื่อความสมบูรณ์แบบสูงสุด $n \in B$, $m = \alpha^{-1}(n)$ มีค่าสูงสุดใน $A$ เพราะ $A/m \rightarrow B/n$ เป็นแผนที่แบบฉีดของ k-algebras ซึ่งมีความหมายว่า $A/m$ คือ $k$.

ฉันไม่เชื่อว่าขั้นตอนที่ 1 ถูกนำไปใช้ที่อื่นในการพิสูจน์ดังนั้นดูเหมือนว่าขั้นตอนที่ 2 จะต้องเป็นผลมาจากขั้นตอนที่ 1 มีใครอธิบายได้ไหม โดยเฉพาะอย่างยิ่งขั้นตอนที่ 1 เป็นสาเหตุที่ทำให้แผนที่ในขั้นตอนที่ 2 เป็นแบบฉีดหรือไม่? ขอขอบคุณ!

คำตอบ

4 AlexYoucis Aug 19 2020 at 16:14

ฉันไม่รู้ว่าคุณกำลังอ่านอยู่ที่ไหน แต่ดูเหมือนจะซับซ้อนเกินไป สมมติว่า$\alpha: A\to B$ เป็นแผนที่ของ $k$-algebras ที่ไหน $A$ และ $B$เป็นประเภท จำกัด ปล่อย$\mathfrak{m}$เป็นอุดมคติสูงสุด เราต้องการแสดงสิ่งนั้น$\alpha^{-1}(\mathfrak{m})$เป็นอุดมคติสูงสุด โปรดทราบว่าแผนที่เกิดขึ้น

$$\alpha:A/\alpha^{-1}(\mathfrak{m})\to B/\mathfrak{m}$$

เป็นหัวฉีดถ้า $\alpha(a\alpha^{-1}(\mathfrak{m}))=\alpha(a)\mathfrak{m}$ เป็นศูนย์แล้วนี่บอกอย่างนั้น $\alpha(a)\in\mathfrak{m}$ ดังนั้น $a\in \alpha^{-1}(\mathfrak{m})$ ซึ่งบอกว่า $a\alpha^{-1}(m)$ เป็นศูนย์

ตอนนี้ให้เราสังเกตว่าในขณะที่เราอาจกังวลนั้น $\alpha^{-1}(\mathfrak{m})$ไม่สูงสุดมันเป็นสิ่งสำคัญอย่างแน่นอน อันที่จริงถ้า$ab\in\alpha^{-1}(\mathfrak{m})$ แล้ว $\alpha(ab)\in \mathfrak{m}$. แต่โดยนัยนี้$\alpha(a)\alpha(b)\in\mathfrak{m}$ ดังนั้นอย่างใดอย่างหนึ่ง $\alpha(a)\in\mathfrak{m}$ หรือ $\alpha(b)\in\mathfrak{m}$. แต่นี่หมายความว่าอย่างแน่นอน$a\in\alpha^{-1}(\mathfrak{m})$ หรือ $\alpha^{-1}(b)\in\mathfrak{m}$. ตั้งแต่$a$ และ $b$ เราเห็นตามอำเภอใจ $\alpha^{-1}(\mathfrak{m})$เป็นไพรม์ตามที่ต้องการ ( หมายเหตุ:แน่นอนว่าสิ่งนี้ไม่ได้ใช้อย่างนั้น$\mathfrak{m}$ สูงสุดและใช้ได้กับทุกอุดมคติที่สำคัญ)

เราจะเห็นว่า $\alpha$ ก่อให้เกิดการรวมโดเมนอินทิกรัล $A/\alpha^{-1}(\mathfrak{m})$ ลงไปในสนาม $B/\mathfrak{m}$. ถ้าเรากำลังจัดการกับแหวนตามอำเภอใจนี่จะเป็นขอบเขตทั้งหมดของสิ่งที่เราพูดได้จริงๆ แต่ความจริงที่ว่าเรากำลังเผชิญกับประเภท จำกัด$k$-algebras คือสิ่งที่บอกว่าวันนั้น

ยังไง? โดย Nullstellensatz ตั้งแต่$B$ เป็นมิติที่ จำกัด $k$- พีชคณิตเรามีสิ่งนั้น $B/\mathfrak{m}$ เป็นมิติที่ จำกัด $k$-พีชคณิต! ดังนั้นโดยเฉพาะอย่างยิ่งตั้งแต่$A/\alpha^{-1}(\mathfrak{m})$ ฝังลงใน $B/\mathfrak{m}$ เป็น $k$- พีชคณิตเราเห็นว่า $A/\alpha^{-1}(\mathfrak{m})$ เป็นโดเมนหนึ่งซึ่งเป็นไฟล์ $k$- พีชคณิตซึ่งเป็นมิติที่ จำกัด มากกว่า $k$. แค่นี้ก็เพียงพอแล้ว

กล่าวคือโดยทั่วไปสมบูรณ์แน่นอนถ้า $\ell$ เป็นสนามและ $R$ เป็นโดเมนหนึ่งซึ่งเป็นไฟล์ $\ell$-alebrawith $\dim_\ell R<\infty$ แล้ว $R$ เป็นสนาม

ทำไม? เราจำเป็นต้องแสดงให้เห็นว่าสำหรับสิ่งใด$r\in R$ ซึ่งไม่ใช่ศูนย์นั่นเอง $r$มีผกผันทวีคูณ แต่นี่หมายความว่าแผนที่

$$m_r:R\to R:x\mapsto rx$$

กลับไม่ได้ - เห็นได้ชัดว่าถ้า $r$ มีค่าผกผันทวีคูณแล้ว $m_r^{-1}=m_{r^{-1}}$ และถ้า $m_r$ จะกลับด้านแล้ว $1$ อยู่ในภาพของ $m_r$ ซึ่งหมายความว่ามีอยู่ $x$ ดังนั้น $1=m_r(x)=rx$.

แต่โปรดทราบว่าตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา $R$ เป็นโดเมนที่ $m_r$ เป็นแบบฉีด - ถ้า $m_r(x)=0$ แล้ว $rx=0$ ซึ่งมีความหมายโดยคุณสมบัติของโดเมนว่า $x=0$ ตั้งแต่ $r\ne 0$. แต่โปรดทราบว่า$m_r$ เป็นแผนที่ชัดเจน $k$- ช่องว่างเวกเตอร์และเนื่องจากเอ็นโดมอร์ฟิซึมใด ๆ ของพื้นที่เวกเตอร์มิติ จำกัด เป็นออโตมอร์ฟิซึมเราจึงชนะ!