Hyperconcise Math E2: อนุพันธ์บางส่วน

อนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชัน (f(x, y, …)) เทียบกับ x คืออนุพันธ์ของ f(x, y, …) เมื่อตัวแปรทั้งหมดยกเว้น x ถือว่าเป็นค่าคงที่ (x, y และ z คือค่าใดๆ ตัวเลข).

ถ้าแต่ละ uₖ เป็นตัวแปรที่แตกต่างกันซึ่งขึ้นอยู่กับ x:

ตัวอย่างเช่น ถ้า x = u, f(u, y) = 0 → f⁽ᵘ⁾(u, y)⦁1 + f⁽ʸ⁾(u, y)⦁(d/dx)y = 0 → (d /dx)y = −f⁽ᵘ⁾(u, y)/f⁽ʸ⁾(u, y)

ถ้าvเป็นเวกเตอร์ n มิติใดๆ โดยที่ | วี | = 1, v ⦁∇f วัดว่า f(u₁, … uₙ) กำลังเปลี่ยนแปลงไปในทิศทางของv เท่าใด (ที่จุด ∇f คำนวณ)

หากอนุพันธ์ที่เกี่ยวข้องทั้งหมดมีความต่อเนื่อง ∇×∇f = 0และ ∇⦁(∇× f ) = 0 (โดยการคำนวณโดยตรง)

ตัวอย่างเช่น ถ้า (u₁, u₂, u₃) = (x, y, z):