การบรรจบกันสม่ำเสมอของอินทิกรัล

Question

ฉันพยายามทำความเข้าใจสิ่งนี้เป็นครั้งแรก ต้องตรวจสอบว่า$\int_{0}^{\infty} e^{-\alpha x}sin(x)dx$มีการบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอหรือไม่ ฉันเดาว่ามันไม่บรรจบกันถ้า$\alpha \in ]0,\infty[$แต่ฉันไม่แน่ใจ 100% ว่าฉันพิสูจน์แล้วว่าถูกต้องหรือจะพิสูจน์ได้อย่างไร สิ่งที่ฉันได้ทำคือ:

สมมติว่ามันบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอ แล้วมี$p \in \mathbb{N}$ ดังนั้น $\forall \alpha \in]0,\infty[$ $$\left\lvert \int_{p}^{\infty} e^{-\alpha x}sin(x)dx \right\lvert < something$$ ไม่แน่ใจว่าจะใส่ตัวเลข "อะไร" เพื่อให้เกิดความขัดแย้ง

และถ้าเป็นจริงฟังก์ชัน $$f(\alpha)= \int_{p}^{\infty} e^{-\alpha x}sin(x)dx \hspace{0.1cm} , \alpha \in ]0,\infty[$$มีขอบเขต ฉันรู้แล้ว$\lim_{\alpha \to 0} f(\alpha)$ไม่มีอยู่จริง นี่คือความขัดแย้ง? เหตุใดสิ่งนี้จึงขัดแย้งกับข้อเท็จจริงที่ว่า$f$มีขอบเขต? (ถ้า$\lim_{\alpha \to 0} f(\alpha) = \infty$ ฉันจะไม่สงสัยอะไรเลย แต่มันไม่มี - ขีด จำกัด ก็ไม่มีอยู่ดังนั้นฉันจึงไม่รู้ว่าจะแก้ตัวอย่างไร)

ฉันหวังว่าฉันจะกระจ่างเกี่ยวกับข้อสงสัยของฉัน ขอขอบคุณ!

Answer 1

อินทิกรัลมีการบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอสำหรับ $\alpha \in [a,\infty)$ ที่ไหน $a > 0$ โดยการทดสอบ Weierstrass M-test แต่ไม่เปิด $(0,\infty)$.

สำหรับอินทิกรัลแรกด้วย $\alpha_n = (2n\pi + \pi)^{-1} \in (0,\infty)$ เรามี

$$\left|\int_{2n\pi}^{2n\pi+\pi} e^{-\alpha_nx_n} \sin x \, dx\right|\geqslant e^{-(2n\pi+\pi) \alpha_n}\int_{2n\pi}^{2n\pi+\pi} \sin x \, dx = 2 e^{-(2n\pi+\pi)\alpha_n}= 2e^{-1}$$

เนื่องจาก RHS ไม่รวมเข้าด้วยกัน $0$ เช่น $n \to \infty$เกณฑ์ Cauchy สำหรับการบรรจบกันของเครื่องแบบถูกละเมิด