การใช้ความไม่เท่าเทียมกันของ Schwarz ในการพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันของ Chung Erd
ฉันพยายามทำความเข้าใจข้อพิสูจน์เกี่ยวกับความไม่เท่าเทียมกันของชุงเออร์ด แหล่งข้อมูลทั้งหมดที่ฉันสามารถหาได้ (รวมถึงคำถามและคำตอบที่เกี่ยวข้องใน MSE) ระบุบางสิ่งตามบรรทัดต่อไปนี้: if$A_1, \ldots, A_n$ คือเหตุการณ์และถ้า $X_i$ คือตัวแปรสุ่มที่กำหนดโดยฟังก์ชันลักษณะของ $A_i$, $i = 1, \ldots, n$จากนั้นความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้จะตามมาจากอสมการ Schwarz:
$$[E(X_1+...+X_n)]^2 \leq P(X_1+...+X_{n}>0)E[(X_{1}+...+X_n)^2]$$
ฉันอาจจะโง่เป็นพิเศษเกี่ยวกับเรื่องนี้ แต่ฉันมองไม่เห็นว่าจะใช้อสมการ Schwarz อย่างไรเพื่อให้ได้มาข้างต้น
คำตอบ
รูปแบบหนึ่งของอสมการ Cauchy-Schwarz ก็คือ $E[UV]^2\le E[U^2] E[V^2]$. (นี่คือความไม่เท่าเทียมกันของ CS ตามปกติที่ใช้กับพื้นที่ของตัวแปรสุ่มที่มีมูลค่าจริงในช่วงเวลาวินาทีกับผลคูณภายใน$\langle X,Y\rangle=E[XY]$.)
ใช้สิ่งนี้ในกรณีนี้ $U=X_1+X_2+\cdots+X_n$ และ $V=I_{U>0}$. โปรดทราบว่า$E[U]=E[UV]$, นั่น $V^2=V$ และนั่น $E[V^2] = E[V] = P(U>0)$ส่งมอบความไม่เท่าเทียมกันของคุณ $$E[X_1+\cdots+X_n]^2 = E[UV]^2\le E[V^2] E[U^2] = P(X_1+\cdots+X_n>0)E[(X_1+\cdots+X_n)^2].$$
ปล่อย $X = X_1 + \cdots + X_n$ และแสดงโดย $f$ ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น
เขียน $X f = \sqrt{f} (X \sqrt{f})$. แล้ว
$$\left(\int X f dX\right)^2 \leq \int f dX \int X^2 f dX$$
โดย Cauchy-Schwarz