การคำนวณ Group Ring $k[\mathbb Z / n \mathbb Z]$ สำหรับสนาม $k$ ของลักษณะเฉพาะ $0$
พิจารณาฟิลด์ $k$ ของลักษณะ $0$ และจำนวนเต็มบวก $n.$ในการพิสูจน์ Theorem 4.19 ของPolytopes, Rings และ K-Theoryโดย Bruns and Gubeladze ระบุว่าเรามี isomorphism$k[\mathbb Z / n \mathbb Z] \cong k[x] / (x^n - 1),$ ที่ไหน $k[\mathbb Z / n \mathbb Z]$ คือวงแหวนกลุ่มที่ตรงกับกลุ่มวัฏจักรของจำนวนเต็มโมดูโล $n;$อย่างไรก็ตามฉันมีปัญหาในการโน้มน้าวตัวเองในเรื่องนี้ ผมเชื่อว่า$k$-algebra homomorphism $\varphi : k[x] \to k[\mathbb Z / n \mathbb Z]$ เกิดจากการมอบหมาย $x^m \mapsto \overline m$ เป็นการคาดเดาที่เราแสดงถึง $\overline m = m \text{ (mod } n),$ ดังนั้นฉันจึงอยากจะแสดงให้เห็น $\ker \varphi = (x^n - 1),$ แต่ฉันไม่สามารถทำสิ่งนี้ได้
เมื่อได้รับการยอมรับแล้วฉันก็ตระหนักดีว่า (ในฐานะ $k$ มีลักษณะ $0$) เรามีสิ่งนั้น $x^n - 1 = \prod_{d \,|\, n} \Phi_d(x),$ ที่ไหน $\Phi_d(x)$ คือ $d$พหุนามไซโคลโทมิก ดังนั้นพหุนาม$x^n - 1$แยกออกเป็นผลคูณของพหุนามที่ไม่สามารถลดทอนได้ ดังนั้นผู้เขียนจึงอ้างว่า$k[\mathbb Z / n \mathbb Z]$เป็นผลิตภัณฑ์เทนเซอร์ของโดเมน แต่ฉันไม่เห็นวิธีการ$k[x] / (x^n - 1) \cong \otimes_{d \,|\, n} k[x] / (\Phi_d(x)),$ หากนี่คือสิ่งที่ผู้เขียนยืนยันจริง
ฉันจะขอบคุณอย่างมากสำหรับข้อมูลเชิงลึกความคิดเห็นหรือข้อเสนอแนะ ขอบคุณ.
คำตอบ
เกี่ยวกับคำถามแรก เคอร์เนลประกอบด้วย$x^n-1$. แหวนพหุนามคือ PID ดังนั้นเคอร์เนลจึงถูกสร้างขึ้นโดยพหุนามบางตัว$f(x)$. จากนั้นส่วนที่เหลือ$r(x)$ ของ $f$ เมื่อหารด้วย $x^n-1$ต้องเป็นของเคอร์เนล ที่$r(x)$ มีปริญญา $<n$. พีชคณิตเชิงเส้นอย่างง่ายก็แสดงให้เห็นว่า$r$ คือ $0$. ดังนั้นเคอร์เนลจึงถูกสร้างขึ้นโดย$x^n-1$.