การค้นหาพื้นที่ใกล้เคียงที่กำหนดไว้ใน Manifold

Aug 15 2020

ให้ท่อร่วมที่ราบรื่นพิสูจน์ว่าสำหรับชุดเปิด $U\subset M$ เราสามารถหาชุดปิดได้เสมอ $\bar{B}\subset U$ ดังนั้น $B$ เป็นพื้นที่ใกล้เคียงของบางจุด $p\in U$.

ความพยายามของฉัน: ตั้งแต่ $M$ มีพื้นฐานของลูกบอลปกติมีอยู่ $B\subset U$ ซึ่งเป็นลูกบอลปกติจึงมีอยู่อีกลูก $B'$ ดังนั้น $\bar{B}\subset B'$. แต่วิธีการแสดงนั้นมีอยู่ใน$U$เหรอ?

คำตอบ

2 AlekosRobotis Aug 15 2020 at 20:29

เลือก $p\in U$ และเลือกลูกประสาน $V\ni p$ ด้วย $V\subseteq U$. เราสามารถเลือกลูกบอลนี้เพื่อให้มีความแตกต่าง$\phi:V\to B_r(0)\subseteq \Bbb{R}^n$จากนั้นตั้งค่า $W=\phi^{-1}(B_{r/2}(0))$แล้วสังเกตว่า $\overline{W}\subseteq U$ และนั่น $W$ เป็นพื้นที่ใกล้เคียงของ $p$.

หมายเหตุ: ตัวเลือกแรกของ $V$ เป็นไปได้เนื่องจากมีพื้นฐานจากชุดเปิดพิกัด