การพิสูจน์ที่ไม่ใช่ตรีโกณมิติ: $|AD|^2=|AB|\cdot |AC|-|DB|\cdot |DC|$.

Aug 18 2020

คำถามนี้เคยถามมาแล้ว แต่คำตอบให้คำตอบที่เกี่ยวข้องกับตรีโกณมิติและทฤษฎีบทของสจ๊วตซึ่งฉันต้องการหลีกเลี่ยง

ในรูปสามเหลี่ยม $\triangle ABC$, เส้นแบ่งครึ่งของมุมจากจุด $A$ ตัดกัน $\overline {BC}$ ตรงประเด็น $D$. พิสูจน์:$|AD|^2=|AB|\cdot |AC|-|DB|\cdot |DC|$.


แนวทางของฉัน:

ปล่อย $c$ เป็นวงกลมของ $\triangle ABC$ และปล่อยให้ $E$ เป็นจุดตัดของเส้น $AD$ และวงกลม $c$.

เราได้รับสิ่งต่อไปนี้:

$\begin{aligned}\measuredangle ABC=\measuredangle AEC\ \land\ \measuredangle EAB=\measuredangle CAE&\implies\boxed{\triangle ABD\sim\triangle AEC}\\&\implies\frac{|AC|}{|AE|}=\frac{|AD|}{|AB|}\\&\implies|AB|\cdot|AC|=|AD|\cdot(|AD|+|DE|)=|AD|^2+|AD|\cdot|DE|\\&\implies\boxed{ |AD|^2=|AB|\cdot|AC|-|AD|\cdot|DE|}\end{aligned}$

ในทางกลับกัน:

$\begin{aligned}\measuredangle CBE=\measuredangle CAE\ \land\ \measuredangle EDB=\measuredangle ADC&\implies\boxed{\triangle DBE\sim\triangle ADC}\\&\implies\frac{|BD|}{|AD|}=\frac{|DE|}{|DC|}\\&\implies\boxed{|BD|\cdot|DC|=|AD|\cdot|DE|}\end{aligned}$

สุดท้าย

$|AD|^2=|AB|\cdot|AC|-|AD|\cdot|DE|=|AB|\cdot|AC|-|BD|\cdot|DC|$

ภาพ:


ขอถามว่าใช้ได้ไหม ถ้าเป็นเช่นนั้นมีอะไรที่ฉันสามารถทำได้เพื่อปรับปรุงการพิสูจน์ของฉันหรือไม่?

ขอบคุณล่วงหน้า!

คำตอบ

5 StinkingBishop Aug 18 2020 at 16:28

สังเกตขั้นตอนที่สอง ($|BD|\cdot|DC|=|AD|\cdot|DE|$เป็นทฤษฎีบทที่รู้จักกันดี ( Intersecting Chords Theorem ) ดังนั้นคุณอาจอ้างถึงมันแทนที่จะพิสูจน์ด้วยตัวเอง นอกเหนือจากนั้นหลักฐานนี้ยังใช้ได้อย่างสมบูรณ์และสั้นมากฉันไม่เห็นว่าจะปรับปรุงได้อย่างไร