การพิสูจน์ทฤษฎีบทพื้นฐานของเส้นโค้งอวกาศโดยใช้การแปลงแบบแข็งโดย Peter Baxandall (Vector Calculus)
ฉันกำลังอ่านแคลคูลัสเวกเตอร์โดย Peter Baxandall ซึ่งพิสูจน์ทฤษฎีบทพื้นฐานของเส้นโค้งอวกาศ (เส้นโค้งที่มีแรงบิดเท่ากันและความโค้งจะเหมือนกันยกเว้นตำแหน่งของมัน) ในลักษณะต่อไปนี้:

ในการพิสูจน์ผู้เขียนกล่าวว่า: เลือกอะไรก็ได้ $p \in E$. ถือ$C_g$ คงที่และย้าย $C_h$ อย่างแน่นหนา $\Bbb R^3$ จนถึง $T_h(p) = T_g(p) , \cdots$. ฉันไม่เห็นแรงจูงใจและกลไกที่ผู้เขียนสามารถทำได้อย่างชัดเจน ฉันเข้าใจการเปลี่ยนแปลงที่เข้มงวดว่าเป็นสิ่งที่รักษาความยาวของเส้นโค้ง อย่างไรก็ตามเราอาจต้องใช้การหมุนเพื่อสร้างเวกเตอร์แทนเจนต์ของหน่วย$T_g$ และ $T_h$เหมือน. แต่ในบรรทัดสุดท้ายเขาพูดแบบนั้นในท้ายที่สุด$C_h$ คือคำแปลของ $C_g$.
นอกจากนี้ฉันไม่พบว่าผู้เขียนใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าแรงบิดและความโค้งของทั้งสองเส้นโค้งเท่ากันที่ไหน$$\phi = T_g \cdot T_h + N_g \cdot N_h + B_g \cdot B_h \\ \implies \phi' = T_g' \cdot T_h + T_g \cdot T_h' + N_g' \cdot N_h + N_g \cdot N_h' + B_g' \cdot B_h + B_g \cdot B_h'$$. แต่เนื่องจากเรามี:$T_g=T_h,N_g=N_h,B_g=B_h$ดังนั้น: $T_g⋅T_h'=0=T_g'⋅T_h$. ในทำนองเดียวกันสำหรับผลิตภัณฑ์อื่น ๆ ผลิตภัณฑ์แต่ละจุดจะกลายเป็น$0$. ดูเหมือนเราจะไม่ได้ใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าแรงบิดและความโค้งของทั้งสองเส้นโค้งเท่ากัน?
ใครช่วยอธิบายได้ไหมว่าเกิดอะไรขึ้น ขอบคุณมาก!
บันทึก : $T,N,B$ แทนค่าแทนเจนต์หน่วยปกติและสองปกติ - เวกเตอร์ตามลำดับ
คำตอบ
คำสั่งก็คือ $C_g$ และ $C_h$"เท่ากันขึ้นอยู่กับการเคลื่อนไหว" ในการพิสูจน์ของเขาผู้เขียนแทนที่$C_h$ โดยสำเนาที่สอดคล้องกัน (แสดงอีกครั้งโดย $C_h$) ด้วยวิธีต่อไปนี้: เขาเลือกก $p\in E$ และใช้การหมุนเวียน $R$ ของ ${\mathbb R}^3$ เช่นเดิม orthonormal triple $\bigl(T_h(p),N_h(p),B_h(p)\bigr)$ ถูกจับคู่กับสาม $\bigl(T_g(p),N_g(p),B_g(p)\bigr)$. เมื่อหมุนคงที่$R$ ถูกนำไปใช้กับ $C_h$ เส้นโค้ง $R(C_h)=:C_h$ ยังไม่ตรงกับ $C_g$แต่เป็นคำแปลของ $C_g$. เมื่อคุณต้องการคุณสามารถสมัครนอกจากนี้การแปล$A$ ดังนั้น $(A\circ R)(h(p))=g(p)$แต่ก็ไม่จำเป็น ในฐานะผู้อ่านเรายอมรับโดยไม่ต้องกังวลใจอีกต่อไปว่าเส้นโค้งที่เคลื่อนไหว$C_h$ สอดคล้องกับต้นฉบับ $C_h$.
จากนั้นส่วนที่ยากของการพิสูจน์ประกอบด้วยการแสดงว่าใหม่ $C_h$ สอดคล้องกับ $C_g$. ที่นี่ใช้สูตร Frenet คุณควรคำนวณจริงๆ$\phi'$ เพื่อที่จะเห็นว่าความเท่าเทียมกันของ $s\mapsto\kappa(s)$ และ $s\mapsto\tau(s)$ สำหรับเส้นโค้งทั้งสองมีบทบาทในการแสดงสิ่งนั้น $\phi'=0$: $$\eqalign{\phi'&=(T_g\cdot T_h+N_g\cdot N_h+B_g\cdot B_h)'\cr &=T_g'\cdot T_h+T_g\cdot T_h'+N_g'\cdot N_h+N_g\cdot N_h'+B_g'\cdot B_h+B_g\cdot B_h')\cr &=\kappa N_g\cdot T_h+\kappa T_g\cdot N_h+(-\kappa T_g+\tau B_g)\cdot N_h+(-\kappa T_h+\tau B_h)\cdot N_g-\tau N_g\cdot B_h-\tau B_g\cdot N_h\cr &=0\ .\cr}$$
ในที่สุด "ความเท่าเทียมกัน" ของ $C_g$ และ $C_h$ มาจากส่วนที่เป็นเอกลักษณ์สำหรับการแก้ปัญหาของ ODE