การประมาณความนูนที่แข็งแกร่งนี้ถือหรือไม่?
ปล่อย $F:[0,\infty) \to [0,\infty)$ เป็น $C^2$ ฟังก์ชั่นนูนอย่างเคร่งครัดและปล่อยให้ $r_0<r_1$เป็นค่าคงที่คงที่เป็นบวก ปล่อย$$a<r_0<r_1<c<b, \tag{1}$$ และปล่อยให้ $\lambda \in [0,1]$ พอใจ $ \lambda a +(1-\lambda)b=c. $
ชุด $D(a,b,c)=\lambda F(a)+(1-\lambda)F(b)-F(c) $.
คำถาม:มีค่าคงที่หรือไม่ $m>0$ (ซึ่งอาจขึ้นอยู่กับ $f,r_0,r_1$ แต่ไม่เปิด $a,b,c$) ดังนั้น $ D(a,b,c) \ge m\lambda(1-\lambda)(r_1-r_0)^2 $ สำหรับทางเลือกใด ๆ $a,b,c$ สภาพที่น่าพอใจ $(1)$เหรอ?
นี่คือประเด็นสำคัญ:
ถ้า $f'' \ge m$แล้ว $f$มีความนูนอย่างมากพร้อมพารามิเตอร์$m$ดังนั้น $$ D(a,b,c) \ge \frac{1}{2}m\lambda(1-\lambda)(b-a)^2 \ge \frac{1}{2}m\lambda(1-\lambda)(r_1-r_0)^2 \tag{2} $$ตามความจำเป็น. อย่างไรก็ตามในกรณีของเรา$c$ และ $b$ สามารถมีขนาดใหญ่โดยพลการและ $F$ สามารถกลายเป็น "นูนน้อยลง" (ใกล้เคียงกับความสัมพันธ์) เมื่อ $x \to \infty$. กล่าวอีกนัยหนึ่งถ้า$\lim_{x \to \infty}F''(x)=0$จากนั้นขอบล่าง $(2)$ กลายเป็นความผูกพันเล็กน้อย $$ D(a,b,c) \ge \frac{1}{2} (\inf F'')\lambda(1-\lambda)(b-a)^2=0. $$
ดังนั้น "แอปพลิเคชันที่ไร้เดียงสา" ของความนูนที่แข็งแกร่งจึงไม่ใช้ที่นี่ตามที่เป็นอยู่ อย่างไรก็ตามสัญชาตญาณของฉันก็คือแม้ว่า$\lim_{x \to \infty}F''(x)=0$เราควรจะพบกับ "เนื้อหาที่มีความนูนสูง" ซึ่งอยู่ระหว่างส่วนคงที่ $r_0$ และ $r_1$ ดังนั้น "ช่องว่างความนูน" $D(a,b,c)$ ควรอยู่ห่างจากศูนย์
ฉันคิดที่จะแสดงออก $D(a,b,c)$ เป็นส่วนประกอบของ $F''$ บนโดเมนที่มี $[r_0,r_1]$ แต่ยังไม่ประสบความสำเร็จ
คำตอบ
ถ้าพอเพียงที่ต้องการ $F$ มีความนูนอย่างเคร่งครัดและแตกต่างกันในแต่ละช่วงเวลา $I \subset \Bbb R$. (แม้แต่ข้อกำหนดด้านความแตกต่างก็สามารถลดลงได้โปรดดูข้อสังเกตในตอนท้ายของคำตอบ)
สำหรับ $a, b \in I$ ด้วย $a < b$ และ $c = \lambda a + (1 - \lambda) b$ ด้วย $0 \le \lambda \le 1$ เราเขียนได้ $$ D(a, b, c) = \lambda F(a)+(1-\lambda)F(b)-F(c) \\ = \lambda \bigl \{ F(a) - F(c) - (a-c)F'(c) \bigr\} + (1- \lambda) \bigl \{F(b) - F(c) - (b-c)F'(c)\bigr\} \, . $$
นี้แนะนำที่จะแนะนำ $$ H(u, v) = F(u) - F(v) - (u-v) F'(v) $$ สำหรับ $u, v \in I$. $H$ มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:
- $H(u, v) > 0$ ถ้า $u \ne v$.
- $H(u_1, v) > H(u_2, v)$ ถ้า $u_1 < u_2 \le v$เช่น $H(u,v)$ กำลังลดลงใน $u$ ตราบเท่าที $u \le v$.
- $H(u, v_1) < H(u, v_2)$ ถ้า $u \le v_1 < v_2$เช่น $H(u, v)$ กำลังเพิ่มขึ้นใน $v$ ตราบเท่าที $u \le v$.
คุณสมบัติ (1) เป็นผลโดยตรงของความนูนที่เข้มงวด: $F(u)$ มีขนาดใหญ่กว่าค่าที่สอดคล้องกันของเส้นสัมผัสที่ $x=v$.
สำหรับทรัพย์สิน (2) เราถือว่า $u_1 < u_2 \le v$ และคำนวณ $$ H(u_1, v) - H(u_2, v) = F(u_1) - F(u_2) - (u_1 - u_2) F'(v) \\ \ge F(u_1) - F(u_2) - (u_1 - u_2) F'(u_2) = H(u_1, u_2) > 0 \, . $$ ที่นี่เราใช้สิ่งนั้น $F'$ กำลังเพิ่มขึ้น.
สำหรับทรัพย์สิน (3) เราถือว่า $u \le v_1 < v_2$ และคำนวณ $$ H(u,v_1) - H(u, v_2) = -F(v_1) - (u-v_1)F'(v_1) + F(v_2) + (u-v_2) F'(v_2) \\ \le -F(v_1) - (u-v_1)F'(v_2) + F(v_2) + (u-v_2) F'(v_2) \\ = -H(v_1, v_2) < 0 \, . $$
ด้วยเครื่องมือเหล่านี้การประมาณค่า $D(a, b, c)$จากด้านล่างกลายเป็นเรื่องง่าย ถ้า$a \le r_0 < r_1 \le c < b$ แล้ว $$ D(a, b, c) = \lambda H(a, c) + (1-\lambda)H(b,c) \\ \ge \lambda H(a, c) \ge \lambda H(r_0, r_1) \ge \lambda(1- \lambda) H(r_0, r_1) \\ = m \lambda(1-\lambda) (r_1-r_0)^2 $$ ด้วย $m$ กำหนดเป็น $$ m = \frac{H(r_0, r_1)}{(r_1-r_0)^2} = \frac{F(r_0) - F(r_1) - (r_0 - r_1) F'(r_1)}{(r_1-r_0)^2} > 0 \, . $$
หมายเหตุ:
- สมมติฐานที่ว่า $F$ กำหนดไว้เท่านั้น $[0, \infty)$ ด้วยค่าใน $[0, \infty)$ ไม่ได้ใช้ในการพิสูจน์
- ความต้องการความแตกต่างยังสามารถลดลงได้ ฟังก์ชันนูนมีอนุพันธ์ด้านเดียวในทุกๆจุดภายในของช่วงเวลา การพิสูจน์ข้างต้นยังคงใช้งานได้หากเราเปลี่ยน$F'$ โดยอนุพันธ์ทางขวา (หรือซ้าย)
ทางเลือกในการแก้ปัญหา
ให้เราพิสูจน์ว่าค่าคงที่ดีที่สุด $m$ คือ $$m = \frac{F(r_0) - F(r_1) - F'(r_1)(r_0 - r_1)}{(r_1 - r_0)^2} > 0.$$ (หมายเหตุ: จริงๆแล้วมันเท่ากับ $\frac{1}{(r_1 - r_0)^2}\int_{r_0}^{r_1} (x- r_0) F''(x) \mathrm{d} x$ ซึ่งเป็นบวกตั้งแต่ $F(x)$ นูนอย่างเคร่งครัด)
ขั้นแรกเราเรียบเรียงปัญหาใหม่ดังนี้:
ปล่อย $F : [0, \infty) \to [0, \infty)$ เป็น $\mathrm{C}^2$ฟังก์ชั่นนูนอย่างเคร่งครัด ปล่อย$0 < r_0 < r_1$ได้รับการแก้ไขค่าคงที่ มีค่าคงที่หรือไม่$m > 0$ ดังนั้น $$\lambda F(a) + (1 - \lambda)F(b) - F(\lambda a + (1 - \lambda)b) \ge m \lambda (1 - \lambda) (r_1 - r_0)^2$$ สำหรับตัวเลขจริงใด ๆ $a, b, \lambda$ น่าพอใจ $$0 < \lambda < 1, \quad 0 \le a < r_0 < r_1 < \lambda a + (1 - \lambda) b\ ?$$
ประการที่สองเรามี \begin{align} &\inf_{0 < \lambda < 1,\ 0 \le a < r_0 < r_1 < \lambda a + (1 - \lambda) b} \frac{\lambda F(a) + (1 - \lambda)F(b) - F(\lambda a + (1 - \lambda)b)}{\lambda (1 - \lambda)}\\ =\ & \inf_{0 < \lambda < 1, \ 0 \le a < r_0} \left(\inf_{b > \frac{r_1 - \lambda a}{1 - \lambda}} \frac{\lambda F(a) + (1 - \lambda)F(b) - F(\lambda a + (1 - \lambda)b)}{\lambda (1 - \lambda)}\right)\\ =\ & \inf_{0 < \lambda < 1, \ 0 \le a < r_0} \frac{\lambda F(a) + (1 - \lambda)F(\frac{r_1 - \lambda a}{1 - \lambda}) - F(r_1)}{\lambda (1 - \lambda)} \tag{1}\\ =\ & \inf_{0 < \lambda < 1} \left(\inf_{0 \le a < r_0} \frac{\lambda F(a) + (1 - \lambda)F(\frac{r_1 - \lambda a}{1 - \lambda}) - F(r_1)}{\lambda (1 - \lambda)} \right)\\ =\ & \inf_{0 < \lambda < 1} \frac{\lambda F(r_0) + (1 - \lambda)F(\frac{r_1 - \lambda r_0}{1 - \lambda}) - F(r_1)}{\lambda (1 - \lambda)} \tag{2}\\ =\ & \inf_{y > r_1} \frac{(y - r_0)(y - r_1)F(r_0) + (r_1 - r_0)(y - r_0)F(y) - (y - r_0)^2F(r_1)}{(r_1 - r_0)(y - r_1)} \tag{3}\\ =\ & \lim_{y \to r_1} \frac{(y - r_0)(y - r_1)F(r_0) + (r_1 - r_0)(y - r_0)F(y) - (y - r_0)^2F(r_1)}{(r_1 - r_0)(y - r_1)} \tag{4}\\ =\ & F(r_0) - F(r_1) - F'(r_1)(r_0 - r_1). \tag{5} \end{align}คำอธิบาย:
(1): โดยให้$f(b) = (1 - \lambda)F(b) - F(\lambda a + (1 - \lambda)b)$, เรามี $f'(b) = (1 - \lambda)F'(b) - (1 - \lambda) F'(\lambda a + (1 - \lambda)b) \ge 0$ (บันทึก: $F'(x)$ ไม่ลดลง) และด้วยเหตุนี้ $f(b)$ ไม่ลดลง $[b, \infty)$.
(2): โดยให้$g(a) = \lambda F(a) + (1 - \lambda)F(\frac{r_1 - \lambda a}{1 - \lambda})$, เรามี $g'(a) = \lambda F'(a) - \lambda F'(\frac{r_1 - \lambda a}{1 - \lambda}) \le 0$ (บันทึก: $F'(x)$ ไม่ลดลง) และด้วยเหตุนี้ $g(a)$ ไม่เพิ่มขึ้นใน $[0, r_0)$.
(3): ใช้การเปลี่ยนตัว$y = \frac{r_1 - \lambda r_0}{1 - \lambda}$.
(4): ใช้ข้อเท็จจริงต่อไปนี้ (มีการพิสูจน์ในตอนท้าย):
ข้อเท็จจริง 1 : ยอม$$g(y) \triangleq \frac{(y - r_0)(y - r_1)F(r_0) + (r_1 - r_0)(y - r_0)F(y) - (y - r_0)^2F(r_1)}{(r_1 - r_0)(y - r_1)}.$$ แล้ว $g'(y) \ge 0$ บน $(r_1, \infty)$.
(5) ใช้กฎของ L'Hopital
เราทำเสร็จแล้ว
$\phantom{2}$
หลักฐานข้อเท็จจริง 1 : เรามีสำหรับ$y > r_1$, \begin{align} (r_1 - r_0)(y - r_1)^2g'(y) &= (y - r_1)^2F(r_0) - (r_1 - r_0)^2F(y)\\ &\quad + (r_1 - r_0)(y - r_0)(y - r_1)F'(y)\\ &\quad + (-2(y - r_0)(y - r_1) + (y - r_0)^2)F(r_1) \\ &= (y - r_1)^2F(r_0) - (r_1 - r_0)^2( F(y) - F(r_1) ) \\ &\quad - (r_1 - r_0)^2F(r_1) + (r_1 - r_0)(y - r_0)(y - r_1)F'(y)\\ &\quad + (-2(y - r_0)(y - r_1) + (y - r_0)^2)F(r_1)\\ &\ge (y - r_1)^2F(r_0) - (r_1 - r_0)^2(y - r_1)F'(y) \\ &\quad - (r_1 - r_0)^2F(r_1) + (r_1 - r_0)(y - r_0)(y - r_1)F'(y)\\ &\quad + (-2(y - r_0)(y - r_1) + (y - r_0)^2)F(r_1)\\ &= (y - r_1)^2F(r_0) - (y - r_1)^2F(r_1) + (r_1 - r_0)(y - r_1)^2F'(y) \\ &\ge (y - r_1)^2F(r_0) - (y - r_1)^2F(r_1) + (r_1 - r_0)(y - r_1)^2F'(r_1)\\ &= (y - r_1)^2[F(r_0) - F(r_1) - F'(r_1)(r_0 - r_1)]\\ &\ge 0 \end{align} ที่เราใช้ $(y - r_1)F'(y) \ge F(y) - F(r_1)$ และ $F(r_0) - F(r_1) - F'(r_1)(r_0 - r_1) \ge 0$ และ $F'(y) \ge F'(r_1)$ (บันทึก: $F(x) \ge F(y) + F'(y)(x-y)$ สำหรับฟังก์ชันนูน $F'(x)$ไม่ลดลง) เราทำเสร็จแล้ว