การทำแผนที่ของ $f(z)$

Aug 20 2020

ให้ฟังก์ชั่น $f$ วิเคราะห์ในระนาบเชิงซ้อนจริงบนแกนจริง 0 ที่จุดกำเนิดและไม่เหมือนศูนย์

พิสูจน์ว่าถ้า $f$ จับคู่แกนจินตภาพเป็นเส้นตรงจากนั้นเส้นตรงนั้นต้องเป็นแกนจริงหรือแกนจินตภาพ

ความพยายามของฉัน: $f(z)$ คือ analytic iff $g(z)= \overline{f(\bar z)}$ ยังวิเคราะห์ได้อีกด้วย$f(z)$ ตรงกับ $g(z)$บนแกนจริง พิจารณาลำดับ${1/n}$มาบรรจบกันเป็นศูนย์ ตอนนี้การใช้ทฤษฎีบทเอกลักษณ์เราสามารถสรุปได้$f(z)=g(z)$ บนระนาบที่ซับซ้อน $g(z)$ แมปแกนจินตภาพกับแกนจินตภาพและอื่น ๆ $f(z)$. ฉันไม่เข้าใจว่าเมื่อไหร่$f$ แมปแกนจินตภาพกับแกนจริง

คำตอบ

1 Conrad Aug 20 2020 at 19:30

ปล่อย $k \ge 1$ ลำดับของศูนย์ของ $f$ที่จุดกำเนิด; ตามรูปแบบท้องถิ่นของฟังก์ชันวิเคราะห์ที่$0$กล่าวคือ $f(z)=cz^k+O(z^{k+1}), c \ne 0$ก็จะเป็นไปตามนั้นทันที $f$ เปลี่ยนมุม $\theta$ ระหว่างสองเส้นโค้งใด ๆ ที่ผ่านจุดกำเนิดไปยังมุม $k\theta$ (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง $f$ เป็นไปตามจุดกำเนิดอย่างแม่นยำสำหรับ $k=1$)

เนื่องจากมุมระหว่างแกนจริงและแกนจินตภาพคือ $\pi/2$มุมระหว่างภาพคือ $k\pi/2$ดังนั้นโดยสมมุติฐานแกนจินตภาพจะถูกส่งเข้าไปในเส้นที่ทำให้ a $k\pi/2$ มุมกับแกนจริงสำหรับจำนวนเต็ม $k \ge 1$ และมีเพียงสองเส้นดังกล่าวคือแกนจินตภาพและแกนจริงขึ้นอยู่กับว่า $k$ เป็นเลขคี่หรือคู่เราก็ทำเสร็จแล้ว

$z^2, z^4$ เป็นตัวอย่างที่เป็นไปตามสมมติฐานและตำแหน่งที่แกนจินตภาพถูกส่งไปยังแกนจริง (แม้ว่าในกรณีหนึ่งภาพทั้งสองจะไม่ปะติดปะต่อกันยกเว้นที่ศูนย์เป็นครึ่งเส้นสองเส้นและอีกภาพตรงกัน - โปรดทราบว่าภาพของจริง หรือแกนจินตภาพภายใต้ $f$ อาจไม่เข้าสู่บรรทัดเต็มซึ่งจะถูกส่งไปด้วย) ในขณะที่ $z$ เป็นตัวอย่างที่ส่งถึงตัวมันเอง