การทำความเข้าใจข้อความและการพิสูจน์ทฤษฎีบทของเบอร์ตินีในกริฟฟิ ธ ส์และแฮร์ริส

Question

ฉันมีปัญหาในการทำความเข้าใจข้อความและการพิสูจน์ทฤษฎีบทของเบอร์ตินีในหนังสือ Griffiths & Harris (น.$137$). บอกตามตรงว่าฉันไม่เข้าใจคำแม้ว่าจะอ่านคำตอบหลาย ๆ คำในกองซ้อนแล้วก็ตาม ทฤษฎีบทคือ

องค์ประกอบทั่วไปของระบบเชิงเส้นจะอยู่ห่างจากตำแหน่งฐานของระบบอย่างราบรื่น

คำถามแรก ข้อความข้างต้นอ้างถึงเชิงเส้นของบันเดิลเส้นทั่วไปไม่ใช่แค่ไลน์บันเดิลที่เกี่ยวข้องกับตัวหารใช่หรือไม่

เท่าที่ฉันสามารถพูดได้มันหมายถึงระบบเชิงเส้นของกลุ่มเส้นที่เกี่ยวข้องกับตัวหาร บอกฉันทีว่าฉันผิด

คำถามที่สอง องค์ประกอบทั่วไปคืออะไร? หรือดินสอทั่วไปคืออะไร?

ในการพิสูจน์ผู้เขียนเริ่มต้นด้วย " ถ้าองค์ประกอบทั่วไปของระบบเชิงเส้นอยู่ห่างจากตำแหน่งฐานของระบบเป็นเอกพจน์ก็จะเป็นจริงเช่นเดียวกันสำหรับดินสอทั่วไปที่มีอยู่ในระบบดังนั้นจึงเพียงพอที่จะพิสูจน์ Bertini สำหรับ ดินสอ "

คำถามที่สาม ประโยคข้างบนหมายถึงอะไรกันแน่?

ตอนนี้สมมติว่า $\left \{D_{\lambda} \right \}_{\lambda \in \mathbb{P}^1}$ คือดินสอ

คำถามที่สี่ ทำไมผู้เขียนถึงเขียน$D_{\lambda} = (f+\lambda g = 0)$เหรอ? ทำอะไร$f,g$ หมายถึงที่นี่?

คำถามสุดท้ายเกี่ยวข้องกับระดับของความหลากหลาย (น.$171$).

Bertini นำไปใช้กับสถานที่ที่ราบรื่นของ $V$ ทั่วไป $(n-k)$-เครื่องบิน $\mathbb{P}^{n-k} \subset \mathbb{P}^n$ จะตัดกัน $V$ ตามขวางและจะได้พบกัน $V$ ใน $\mathrm{deg}(V) = ^{\#}(\mathbb{P}^{n-k}.V)$ คะแนน

คำถามสุดท้าย . ทั่วไปคืออะไร$(n-k)$-เครื่องบิน? ในกรณีนี้เหตุใดจึงตัดกัน$V$ ขวาง?

Answer 1

1. ในการตั้งค่าของคุณ (ท่อร่วมที่ซับซ้อน) บันเดิลบรรทัดทั้งหมดมาจากตัวหารและในทางกลับกัน

2. องค์ประกอบทั่วไปของระบบเชิงเส้นหมายความว่าในไฟล์ $\mathbb P^r$ parametrizing สมาชิกของระบบเชิงเส้นนั้นเราพิจารณาชุดย่อยที่เปิดหนาแน่นของ $\mathbb P^r$. องค์ประกอบทั่วไปคือพารามิเตอร์ที่ถูกจุดในช่องเปิดที่หนาแน่นนั้น ดินสอทั่วไปที่คล้ายกับพาราเมตริกโดยจุดในช่อง Grassmannian ที่หนาแน่น$G(2,r+1)$ ของ $2$-dimensional subspaces ของ $H^0(L)$ (ที่ไหน $L$ คือกลุ่มบรรทัด)

3. ประโยคนี้กำลังบอกว่าพฤติกรรมที่ "ไม่ดี" จะเกิดขึ้นในดินสอดังนั้นเราจึงไม่จำเป็นต้องกังวลเกี่ยวกับระบบเชิงเส้นในมิติที่สูงขึ้น

4. พวกเขาหมายถึง $f,g \in H^0(L)$ดังนั้นการผสมเชิงเส้นของ $f$ และ $g$ ให้ดินสอ

5. เครื่องบินทั่วไปถูกพาราเมตไตรโดยส่วนย่อยที่เปิดหนาแน่นของ Grassmannian ที่เหมาะสม การข้ามเป็นเพราะการข้ามเป็นเงื่อนไขเปิด