เกี่ยวกับการขยายตัวบางอย่างในแง่ของฟังก์ชัน Schur

Question

คำถามนี้เกี่ยวข้องกับคำถามอื่น ๆ

การคาดเดาเชิงบวกของ Schur ที่เกี่ยวข้องกับการเรียงลำดับแถวและคอลัมน์

โดย Richard Stanley (ขอบคุณ Sam Hopkins ที่แจ้งให้เราทราบ)

พิจารณากลุ่มย่อย Young $S_{\lambda}$ ของกลุ่มสมมาตร $S_n$ซึ่งสอดคล้องกับพาร์ติชันจำนวนเต็มบางส่วน $\lambda$ ของ $n$. ปล่อย$\tau$ เป็นการเปลี่ยนแปลงบางส่วนและกำหนดฟังก์ชันสมมาตร

$$ F(\tau)=\sum_{\sigma\in S_{\lambda}}p_{c(\tau\sigma)} $$ ที่ไหน $p_{\mu}$ คือฟังก์ชันสมมาตรผลรวมกำลังตามปกติและ $c(\rho)$ หมายถึงพาร์ติชันจำนวนเต็มที่กำหนดโดยประเภทวัฏจักรของการเปลี่ยนแปลง $\rho$.

ถาม:สิ่งที่ทราบเกี่ยวกับการขยายฟังก์ชัน Schur ของ$F(\tau)$ให้คลาสโคเซตคู่ของ $\tau$ สำหรับกลุ่มย่อย Young?

Answer 1

ข้อเท็จจริงประการหนึ่งก็คือ $F(\tau)$ Schur เป็นบวกถ้าและต่อเมื่อ $\tau\in S_\lambda$. โดยทั่วไปถ้า$K$ คือโคเซต (ซ้ายหรือขวา) ของกลุ่มย่อยใด ๆ $G$ ของ $S_n$แล้ว $\sum_{\sigma\in K}p_{c(\sigma)}$ Schur เป็นบวกถ้าและต่อเมื่อ $K=G$. หลักฐานที่ทราบเพียงอย่างเดียวสำหรับส่วน "if" ต้องใช้ทฤษฎีการเป็นตัวแทน ดูEnumerative Combinatorics , vol. 2 หน้า 396 สำหรับส่วน "เฉพาะในกรณีที่" จะเห็นได้ง่ายว่าหากเป็นการรวมเชิงเส้นที่ไม่ใช่ศูนย์$\sum_{\lambda\vdash n} a_\lambda p_\lambda$ ผลรวมของพลังเป็น Schur positive แล้ว $a_{1^n}>0$.