เกือบทุกแผนที่เชิงเส้น $V\rightarrow V$ (ในพื้นที่บางส่วนของแผนที่ดังกล่าว) จะกลับหัวไม่ได้
ฉันกำลังเขียนกระดาษ มีผลที่อยากจะเข้มงวด แต่ไม่แน่ใจว่าเป็นอย่างไร นี่คือการตั้งค่า:
ฉันมีพื้นที่แบบยุคลิดจริงๆ $V$ ซึ่ง isomorphic ถึง $\mathbb{R}^n$. พิจารณาชุดของแผนที่เชิงเส้นทั้งหมด$\operatorname{L}(V)$ จาก $V$ ของตัวเองซึ่งเป็นไอโซมอร์ฟิกของเซต $n\times n$ เมทริกซ์มากกว่า $\mathbb{R}$. นอกจากนี้ยังเป็นอวกาศยุคลิดที่แท้จริงและเป็นไอโซมอร์ฟิก$\mathbb{R}^{n^2}$. สุดท้ายให้$A\subset\operatorname{L}(V)$เป็นพื้นที่ย่อยของ Affine ที่ไม่มีต้นกำเนิด (ในเอกสารของฉันนี่คือพื้นที่เชื่อมโยงของแผนที่เชิงเส้นทั้งหมด$f:V\rightarrow V$ น่าพอใจ $f^*(v)=v$ สำหรับตัวเลือกคงที่ของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ $v\in V$.)
สิ่งที่ฉันอยากจะบอกคือ: " แผนที่เกือบทั้งหมดใน$A$ กลับไม่ได้ (ในแง่ที่เกี่ยวกับการวัด Lebesgue ที่เกิดขึ้น $A$ชุดแผนที่แบบไม่กลับด้านมีค่าศูนย์) "
นี่เป็นเรื่องจริงอย่างแน่นอน แต่ผู้ร่วมเขียนของฉันไม่เชื่อว่านี่เป็นเรื่องเล็กน้อยอย่างที่ฉันคิด --- และต้องการให้เราให้เหตุผลที่ 'เข้มงวด' สำหรับเรื่องนี้
เหตุผลของฉัน: เราอาจพิจารณา $A$ เป็นพื้นที่ย่อยของ Affine $\mathbb{R}^{n^2}$. ดีเทอร์มิแนนต์$\operatorname{det}:\mathbb{R}^{n^2}\rightarrow\mathbb{R}$ เป็นพหุนามดังนั้น $\operatorname{det}$ เป็นค่าคงที่ $A$ หรือชุดของศูนย์บน $A$มีค่าศูนย์ ผลลัพธ์ที่ต้องการตามมาจากการสังเกตว่าการแปลงเชิงเส้นจะกลับด้านได้ก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนต์ไม่ใช่ศูนย์
นี่เป็นเหตุผลที่ถูกต้องหรือไม่? มีสิ่งที่สามารถเข้าถึงได้ที่ฉันสามารถอ้างถึงที่นี่ได้หรือไม่?
นอกจากนี้ฉันต้องการพูดถึงที่มาที่ไป ในทฤษฎีข้อมูลควอนตัมช่องทางควอนตัมคือแผนที่เชิงเส้น$\Phi:M_m\rightarrow M_m$นั่นคือการรักษาเชิงบวกและการติดตามอย่างสมบูรณ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งช่องควอนตัมทุกช่องยังคงรักษาแบบ Hermitianดังนั้นเราอาจมองว่ามันเป็นแผนที่เชิงเส้นบนชุดของ$m\times m$Hermitian matrices ซึ่งเป็นพื้นที่แบบยุคลิดที่แท้จริง สิ่งที่ฉันอยากจะบอกมีดังต่อไปนี้: แชนเนลควอนตัมเกือบทั้งหมดจะกลับด้านเป็นแผนที่เชิงเส้น (แม้ว่าการทำแผนที่ผกผันมักจะไม่ใช่แชนเนลด้วย)
คำตอบ
นี่เป็นวิธีหนึ่งในการดำเนินการในกรณีของคุณ คุณกำลังมองหา$A_v= \{ T\in L(V) : Tv=v \}$ ที่ไหน $v$เป็นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ ขยาย$v$เป็นพื้นฐาน แล้วด้วยความเคารพในพื้นฐานนี้$T\in A_v$ iff มีเมทริกซ์ของรูปแบบ $$[T]= \begin{bmatrix} 1 & * \\ 0 &B\end{bmatrix}$$ ที่ไหน $B\in M_{n-1}(\mathbb R)$
ดังนั้นคุณได้ระบุ $A_v \cong\mathbb R^{n^2-n}$ และ $T\in A_v$ เป็น iff กลับด้าน $\det B \neq 0$. ดังนั้นมันจึงเป็นส่วนเติมเต็มของเซตศูนย์ของพหุนามใน$\mathbb R^{n^2-n}$ และด้วยเหตุนี้จึงมีมาตรการ $0$.
แก้ไข: เรามาดูปัญหาของคุณในกรอบทั่วไปที่ $V$ คือพื้นที่เวกเตอร์บางส่วนบนเขตข้อมูลที่ไม่มีที่สิ้นสุด $k$ และคุณถามคำถามเดียวกัน $L(V)=M_n(k)$ติดตั้งโทโพโลยี Zariski จะเห็นได้ง่ายว่า$M_n(k)$ไม่สามารถลดได้ ดังนั้นชุดเปิดที่ไม่ว่างเปล่าจึงมีความหนาแน่น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง$GL_n(k)=\{ T \in L(V) : \det(T)\neq 0 \}$เป็นส่วนย่อยที่เปิดหนาแน่น ตั้งแต่$A \subset M_n(k)$เป็นสเปซเชิงเส้นตรงซึ่งไม่สามารถวัดได้เช่นกัน ดังนั้นถ้า$A\cap GL_n(k)$ ไม่ว่างเปล่าดังนั้นจึงเป็นชุดย่อยที่เปิดหนาแน่นของ $A$. ภาพรวมคือการมีอยู่ของแผนที่ที่กลับหัวได้หนึ่งแผนที่ทำให้คุณมีความหนาแน่นของแผนที่ที่กลับหัวได้ในพื้นที่ย่อยของ Affine นั้น