คำถามเกี่ยวกับการคำนวณความคาดหวัง [ซ้ำ]
ปล่อย $X$ และ $Y$ เป็นตัวแปรสุ่มสองตัว
ฉันสังเกตเห็นหนังสือเล่มหนึ่ง $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ โดยไม่มีหลักฐาน
ฉันคิดว่าสำหรับกรณีที่ง่ายที่สุดการพิสูจน์อาจเป็นดังนี้: - $E(X + Y) = \sum p_i (X + Y) = \sum (p_i X + p_iY) = \sum (p_i X) + \sum (p_i Y) = E(X) + E(Y)$.
แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกันสำหรับ Y คือ $q_i$ และ $p_i \ne q_i$ โดยทั่วไป?
คำตอบ
หมายเหตุ : เพื่อความเรียบง่ายฉันจะเขียน$f(x,y)$ แทน $f_{XY}(x,y)$. การพิสูจน์ต่อไปนี้อยู่ในกรณีต่อเนื่อง แต่การพิสูจน์ที่คล้ายกันอยู่ในกรณีที่ไม่ต่อเนื่องหรือโดยทั่วไป
$$\mathbb{E}[X+Y]=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}(x+y)f(x,y)dxdy=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x,y)dxdy+\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}yf(x,y)dxdy=$$
$$\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx\underbrace{\int_{-\infty}^{+\infty}f(y|x)dy}_{=1}+\int_{-\infty}^{+\infty}yf(y)dx\underbrace{\int_{-\infty}^{+\infty}f(x|y)dx}_{=1}=\mathbb{E}[X]+\mathbb{E}[Y]$$
แก้ไข: กรณีไม่ต่อเนื่อง
$$\mathbb{E}[X+Y]=\sum_x\sum_y (x+y)p(x,y)=...$$