ค้นหาฟังก์ชัน $f$ ดังนั้น $\lim_{x\to{}0}{f(x^2)}$ มีอยู่ แต่ $ \lim_{x\to{}0}{f(x)}$ไม่. [ซ้ำ]
บริบท:
ฉันกำลังทำความเข้าใจกับการวิเคราะห์บางอย่างและกำลังทำแบบฝึกหัดในหนังสือ Calculus ของ M. Spivak โดยเฉพาะบทที่ 5 เรื่องขีด จำกัด ทุกอย่างเป็นไปด้วยดีจนกระทั่งฉันเจอคำถามนี้ ฉันคิดเกี่ยวกับเรื่องนี้มานานแล้วโดยไม่มีโชค
คำถาม: "ให้ตัวอย่างที่$\lim_{x\to{}0}{f(x^2)}$ มีอยู่ แต่ $\lim_{x\to{}0}{f(x)}$ ไม่."
ความพยายามของฉัน:
คำถามก่อนหน้านี้แสดงให้เห็นว่า $\lim_{x\to{}0}{f(x^3)}=\lim_{x\to{}0}{f(x)}$ซึ่งฉันเชื่อว่าได้ผลเพราะเราสามารถหารากที่สามของจำนวนจริงใดก็ได้ (ซึ่งมีประโยชน์ใน epsilon - การพิสูจน์เดลต้าสำหรับมัน) ซึ่งทำให้ฉันเชื่อว่าข้างต้นล้มเหลวเพราะเราไม่สามารถลบค่าเรียลรูทที่สองได้ สิ่งนี้ทำให้ฉันเล่นกับฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกับ$\sqrt{x}$ และใช้ 'ความไม่กำหนด' ในเชิงลบ
ฉันเริ่มต้นด้วย $f(x)=\sqrt{x-1}$ ซึ่งมีขีด จำกัด ที่ไม่ได้กำหนดไว้อย่างชัดเจนที่ $0$. แต่แน่นอนว่าไม่แตกต่างกัน (พิจารณาขีด จำกัด ที่$0$ นั่นคือ) ถึง $f(x^2)$.
คำแนะนำใด ๆ ? ฉันรู้สึกราวกับว่ากำลังมองเห็นบางสิ่งที่เรียบง่าย
คำตอบ
$$\begin{align}f\colon \Bbb R\setminus\{0\}&\to \Bbb R\\x&\mapsto \frac x{|x|}\end{align}$$
ฉันมากับอีกตัวอย่างหนึ่งแม้ว่าหลังจากเห็นการตอบสนองของ Hagon von Eitzen
เราสามารถเลือก $f(x)=\text{floor}(x)$.