ค้นหากลุ่มที่ จำกัด ทั้งหมด $G$ เซนต์สำหรับใด ๆ $a,b\in G$ ทั้ง $a$ เป็นพลังของ $b$ หรือ $b$ เป็นพลังของ $a$

Question

ค้นหากลุ่มที่ จำกัด ทั้งหมด $G$ เซนต์สำหรับใด ๆ $a,b\in G$ ทั้ง $a$ เป็นพลังของ $b$ หรือ $b$ เป็นพลังของ $a$

ฉันคิดว่าฉันแสดงให้เห็นแล้วว่าทุกกลุ่มเป็นเช่นนั้น $Z_{p^n}$ สำหรับ $p$นายกถูกต้องหรือไม่? ก่อนอื่นฉันแสดงให้เห็นว่ากลุ่มต้องเป็นวัฏจักรโดยพิจารณาจากองค์ประกอบของลำดับที่ใหญ่ที่สุด$\langle a\rangle$ และทำให้เกิดความขัดแย้งหาก $\langle a\rangle\not= G$. แล้วถ้า $Z_n$ ด้วย $n$คอมโพสิตแล้วไม่มีคุณสมบัตินี้ เนื่องจากมีกลุ่มย่อยสองกลุ่มที่ไม่ปะติดปะต่อกันของคำสั่ง coprime

ถูกต้องหรือไม่ ทุกกลุ่มเป็นกลุ่มดังกล่าว$Z_{p^n}$เหรอ?

Answer 1

นี่ถูกต้องแล้ว นอกเหนือจาก "กลุ่มย่อยที่ไม่ปะติดปะต่อ" แล้ว กลุ่มย่อยมีลักษณะ "เกือบไม่ปะติดปะต่อ" กล่าวคือจุดตัดของพวกเขาจะลดลงเป็นองค์ประกอบเอกลักษณ์ แต่ไม่สามารถปะติดปะต่อกันได้อย่างแท้จริง

Answer 2

ใช่ถ้าคุณใช้ $a$ ด้วยลำดับสูงสุดและโดยความขัดแย้งมี $b\notin\langle a\rangle$แล้ว $a=b^n$ สำหรับบางคน $n>1$ดังนั้น $b$ มีคำสั่งซื้อที่ใหญ่กว่า $a$.

ดังนั้น $G$ เป็นวงจร

ตอนนี้เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าคำสั่งของ $G$ ต้องเป็นพาวเวอร์ไพรม์: คุณไม่สามารถแยก "คอมโพสิต" ได้ (สลิปรอง แต่เกี่ยวข้อง)

ถ้า $|G|$ หารด้วยสองไพรม์ที่แตกต่างกัน $p$ และ $q$แล้ว $G$ มีกลุ่มย่อยของคำสั่งซื้อ $p$ และ $q$แต่สิ่งเหล่านี้มีจุดตัดเล็กน้อยดังนั้นกลุ่มจึงไม่สามารถมีคุณสมบัติที่ระบุไว้ได้

กลุ่มคำสั่งแบบวนรอบ $p^n$ ($p$ ไพรม์) มีคุณสมบัติที่ระบุไว้