โคเซตด้านซ้ายของ $H$ ใน $G$ พาร์ติชัน $G$

Question

ปล่อย $G$ เป็นกลุ่มและ $H$กลุ่มย่อย จากนั้นโคเซตด้านซ้ายของ$H$ ใน $G$ พาร์ติชัน $G$. โดยเฉพาะอย่างยิ่ง,$(1)$ แต่ละ $a$ ∈ G อยู่ในโคเซตด้านซ้ายเพียงตัวเดียวคือ $aH$และ $(2)$ ถ้า $a, b \in G$แล้วอย่างใดอย่างหนึ่ง $aH = bH$ หรือ $aH \cap bH = \emptyset $.

ส่วน $(2)$เสร็จแล้ว ปัญหาของฉันเป็นส่วนหนึ่ง$(1)$ฉันลองแล้ว แต่ไม่แน่ใจจริงๆ:

ปล่อย $a\in G$เรามีสิ่งนั้น $e\in H$ดังนั้น $a\in aH$, ตั้งแต่ $a=ae$. นี่แสดงให้เห็นว่า$a$ อยู่ในโคเซตด้านซ้ายคือ $aH$.

ตอนนี้ถ้า $a\in aH$ และ $a\in bH$เรามีสิ่งนั้น $a=ae=abh$ดังนั้น $bh=e$ และด้วยเหตุนี้ $a$ อยู่ในโคเซตทางซ้ายเพียงอันเดียว

ฉันถูกไหม?

Answer 1

สมมติว่าคุณพิสูจน์แล้ว (2) ฉันดำเนินการต่อ:

$\mathbf{Theorem 1:}$ สำหรับ $a,b \in G$ พิสูจน์ว่า $aH=bH$ iff $a^{-1}b \in H$.

$\mathbf{Theorem 2:}$ สำหรับ $a,b \in G$ พิสูจน์ว่า $b \in aH$ iff $a^{-1}b \in H$

จากนั้นเงื่อนไขต่อไปนี้จะเทียบเท่า: $$b \in aH \equiv a^{-1}b \in H \equiv aH=bH$$ ตั้งแต่ $e \in H, a=ae \in aH$. ปล่อย$a \in bH$. แล้ว$aH=bH$. ด้วยประการฉะนี้$a$ เป็นของ coset ด้านซ้ายเพียงอันเดียว