คุณประเมินอย่างไร $\int_0^1 x^n\arcsin^2(x) \, dx$
หนึ่งนี้โผล่ขึ้นมาเมื่อมีการพยายามที่จะแก้ปัญหานี้ ฉันไม่รู้ว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่จะหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับ
$$I = \int_0^1 x^n\arcsin^2(x) \, dx$$
ที่ไหน $n\in\mathbb{N}$. WolframAlpha สามารถแก้อินทิกรัลสำหรับ$n=1,2,3$แต่แล้วเวลาในการคำนวณก็หมดลง หนึ่งสามารถทดแทน$u = \arcsin(x)$ และ $du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$
$$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\sin^n(x)\sqrt{1-\sin^2(x)} \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2\sin^n(x)\cos(x) \, dx$$
WolframAlpha ใช้ตัวตนตรีโกณมิติเพื่อแก้ปัญหาเมื่อ $n=1,2,3$แต่มีวิธีแก้ปัญหาสำหรับทุกคนไหม $n\in\mathbb{N}$เหรอ?
คำตอบ
ฉันรู้ว่ามันอาจไม่ช่วยคุณในการประเมิน แต่ Mathematica ให้วิธีแก้ปัญหา$$ \frac{2 \, _3F_2\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;\frac{3}{2},\frac{n}{2}+2;1\right)}{(n+ 1) (n+2)}+\frac{\pi ^2}{4 (n+1)}-\frac{\pi ^{3/2} \Gamma \left(\frac{n}{2}+1\right)}{(n+1)^2 \Gamma \left(\frac{n}{2}+\frac{1}{2}\right)} $$ ซึ่งดูเหมือนว่าจะใช้งานได้อย่างน้อยเศษส่วน $n$. $\;_3F_2$ใช้สัญกรณ์ของที่ฟังก์ชั่น hypergeometric ทั่วไป คำที่เหมาะสมที่สุดเกี่ยวข้องกับการแปลงเมลลินของ$\arcsin^2(x)$.
วิธีแก้ปัญหาของ Mathematica อาจถึงโดยใช้การแทนค่า $\arcsin(x)$เป็นฟังก์ชั่นเมย์เยอร์-Gและการแก้รูปแบบทั่วไปสำหรับหนึ่งของคู่ของฟังก์ชั่นเมย์เยอร์-G ที่ สุดท้ายการแปลงผลลัพธ์กลับลงมาเป็นฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริก นี่เป็นอัลกอริธึมทั่วไปสำหรับการแก้อินทิกรัลเชิงสัญลักษณ์โดยทั่วไป แต่ยากที่จะพูดได้อย่างแน่นอนเนื่องจากอินทิกรัลของคุณได้รับการแก้ไขด้วยฟังก์ชันขั้นตอน Heaviside
มีโอกาสมากกว่าที่คุณจะเขียนอินทิกรัลเป็น $\mathcal{M}[\Theta(1-x) \arcsin^2(x)]$เช่นการแปลงเมลลินของผลิตภัณฑ์ของ $\Theta(1-x)$ และ $\arcsin^2(x)$ซึ่งมีตัวแทน Meijer-G $$ \Theta(1-x) = \text{MeijerG}(\{\{\},\{1\}\},\{\{0\},\{\}\},x) $$ และ $$ \arcsin^2(x) = -\frac{1}{2} \sqrt{\pi } \text{MeijerG}\left(\{\{1,1,1\},\{\}\},\left\{\{1\},\left\{0,\frac{1}{2}\right\}\right\},i x,\frac{1}{2}\right) $$ และใช้สมการ $$ \int_0^{\infty} G_{p,q}^{\,m,n} \!\left( \left. \begin{matrix} \mathbf{a_p} \\ \mathbf{b_q} \end{matrix} \; \right| \, \eta x \right) G_{\sigma, \tau}^{\,\mu, \nu} \!\left( \left. \begin{matrix} \mathbf{c_{\sigma}} \\ \mathbf{d_\tau} \end{matrix} \; \right| \, \omega x \right) dx = \frac{1}{\eta} \; G_{q + \sigma ,\, p + \tau}^{\,n + \mu ,\, m + \nu} \!\left( \left. \begin{matrix} - b_1, \dots, - b_m, \mathbf{c_{\sigma}}, - b_{m+1}, \dots, - b_q \\ - a_1, \dots, -a_n, \mathbf{d_\tau} , - a_{n+1}, \dots, - a_p \end{matrix} \; \right| \, \frac{\omega}{\eta} \right) $$ หรือคล้ายกันดังนั้นคอมพิวเตอร์จึงเป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์มากโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับการแยกผลลัพธ์ออกจากกันในแง่ของอัตลักษณ์ไฮเปอร์จีโอเมตริก
ทางเลือกอื่นหลีกเลี่ยงฟังก์ชั่นพิเศษ
บางครั้งสามารถหาค่าอินทิกรัลที่ไม่มีกำหนดได้หากมีการสร้าง ansatz เกี่ยวกับการแก้ปัญหาขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักจากนั้นโดยการแยกความแตกต่างค่าที่ถูกต้องของพารามิเตอร์จะได้รับ
สมมติว่าสำหรับคู่ $n=2m$ โซลูชันมีแบบฟอร์ม $$ \int x^{2m}\arcsin^2(x)dx=-2xP_m(x^2)+2\sqrt{1-x^2}Q_m(x^2)\arcsin(x)+\frac{x^{2m+1}}{2m+1}\arcsin^2(x)+C $$ ที่ไหน $P_m,Q_m$ เป็นพหุนามของดีกรี $m.$ จากนั้นด้วยความแตกต่างทำให้เรามีตัวตน $$ -2P_m(x^2)-4x^2P'_m(x^2)-\frac{2x}{\sqrt{1-x^2}}Q_m(x^2)\arcsin(x)+4x\sqrt{1-x^2}Q'_m(x^2)\arcsin(x)+\\+2Q_m(x^2)+x^{2m}\arcsin^2(x)+\frac{x^{2m+1}}{2m+1}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}2\arcsin(x). $$ ข้อกำหนดทั้งหมดจะต้องหายไปยกเว้น $x^{2m}\arcsin^2(x)$ดังนั้นการแยกคำศัพท์ที่มี $\arcsin(x)$ จากคนอื่น ๆ และด้วยตำแหน่ง $t=x^2,$ เรามีสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นสองลำดับแรก: $$ 2(1-t)Q'_m-Q_m+\frac{t^m}{2m+1}=0\\ 2tP'_m+P_m-Q_m=0 $$ซึ่งเราไม่ต้องการและไม่ต้องการคำตอบทั่วไปที่มีรากที่สอง แต่มีเพียงคำตอบเฉพาะของพหุนามเฉพาะเท่านั้น เมื่อพบคำตอบเหล่านี้แล้วจะเห็นได้ง่ายว่าค่าของอินทิกรัลที่แน่นอนคือ$$ \int_0^1 x^{2m}\arcsin^2(x)dx=\frac{1}{2m+1}\left(\frac{\pi}{2}\right)^2-2P_m(1). $$
ในทำนองเดียวกันสำหรับคี่ $n=2m+1$เราคิดว่า $$ \int x^{2m+1}\arcsin^2(x)dx=-x^2P_m(x^2)+2x\sqrt{1-x^2}Q_m(x^2)\arcsin(x)+\left(\frac{x^{2m+2}}{2m+2}-k\right)\arcsin^2(x)+C $$ และตรงไปยังสมการเชิงอนุพันธ์ที่ได้รับพวกมันคือ $$ t(1-t)Q'_m+(1-2t)Q_m+\frac{t^{m+1}}{2m+2}-k=0,\\ tP'_m+P_m-Q_m=0 $$ (จากสิ่งแรกที่เราได้รับ $k=Q_m(0)$).
อีกครั้งเรามองหาคำตอบของพหุนามและเมื่อพบแล้วเราก็มี$$ \int_0^1 x^{2m+1}\arcsin^2(x)dx=\left(\frac{1}{2m+2}-Q_m(0)\right)\left(\frac{\pi}{2}\right)^2-P_m(1). $$