คุณสมบัติ Anti-de Sitter Spacetime

Question

ฉันเรียนรู้จากการอ่าน nLab (https://ncatlab.org/nlab/show/anti+de+Sitter+spacetime) ที่ anti-de Sitter Spacetime ของมิติ $d$, $AdS_d$เป็น homeomorphic ถึง $\mathbb{R}^{d-1} \times S^1$. ฉันพยายามใช้ภาพแรกในลิงก์นี้เพื่อเป็นแรงบันดาลใจ แต่ฉันก็ยังมีช่วงเวลาที่ยากลำบากในการทำความเข้าใจแนวคิดว่าทำไมช่องว่างทั้งสองนี้จึงเป็น homeomorphic ใครช่วยอธิบายหน่อย นอกจากนี้โฆษณาที่ให้ไว้ในภาพแรกนี้มีขนาดเท่าใด

Answer 1

สิ่งที่บางครั้งไม่ได้กล่าวถึงในรายละเอียดก็คือสิ่งที่นักฟิสิกส์เรียกว่า anti-de Sitter space นั้นไม่ใช่ submanifold

$$\sum_{i = 1}^{d-1} (x_i)^2 - (x_d)^ 2 - (x_0)^2 = -R^2$$

ของ $\mathbb{R}^{d-1,2}$. ใช้$d=2$ สำหรับความเป็นรูปธรรม: สมการที่กำหนดจะกลายเป็น

$$x_1^2 - x_2^2 - x_0^2 = -R^2,$$

ที่ไหน $x_0$ และ $x_2$คือพิกัดตามเวลา นี่คือไฮเพอร์โบลอยด์แผ่นเดียวที่มีสมมาตรการหมุนรอบ$x_1$แกนซึ่งเป็นแกนเว้นวรรค ดังนั้นพิกัดเวลาจึงสอดคล้องกับการเคลื่อนที่ไปรอบ ๆ ไฮเพอร์โบลอยด์และเป็นระยะ! มีโทโพโลยีของ$\mathbb{R} \times S^1$.

สิ่งนี้ไม่สมเหตุสมผลทางร่างกายมากนัก (หรือมีประโยชน์) ดังนั้นจึงไม่ใช่สิ่งที่เรามักเรียกว่ากาลอวกาศ anti-de Sitter และไม่ใช่สิ่งที่รูปภาพในลิงก์แสดง เพื่อให้ได้บางสิ่งที่เป็นจริงมากขึ้นเราใช้ปกสากลของกาลอวกาศนี้ คุณสามารถค้นหาคำจำกัดความของ universal cover ได้หากต้องการ แต่โดยพื้นฐานแล้วจะเป็นกาลอวกาศอื่นที่แชร์คุณสมบัติเมตริกเฉพาะที่ แต่ไม่ใช่โทโพโลยีส่วนกลางของกาลอวกาศดั้งเดิมของเรา ในแง่ที่เป็นนามธรรมน้อยกว่าเรายังคงใช้เมตริกเดิมและ "คลาย" ไฮเปอร์โบลอยด์เพื่อไม่ให้พิกัดเวลาเป็นคาบอีกต่อไป กาลอวกาศนี้มีโทโพโลยี$\mathbb{R}^d$และสิ่งที่แสดงในภาพ